¿Qué es un nivel beta en estadísticas? (Definición y ejemplo)

En estadística, utilizamos pruebas de hipótesis para determinar si alguna suposición sobre un parámetro de población es cierta.

Una prueba de hipótesis siempre tiene las siguientes dos hipótesis:

Hipótesis nula (H 0 ): Los datos de la muestra son consistentes con la creencia predominante sobre el parámetro de población.

Hipótesis alternativa (H A ): Los datos de la muestra sugieren que la suposición realizada en la hipótesis nula no es cierta. En otras palabras, hay alguna causa no aleatoria que influye en los datos.

Siempre que realizamos una prueba de hipótesis, siempre hay cuatro resultados posibles:

Beta vs Alpha en pruebas de hipótesis en estadística

Hay dos tipos de errores que podemos cometer:

  • Error de tipo I: rechazamos la hipótesis nula cuando en realidad es cierta. La probabilidad de cometer este tipo de error se denota como α .
  • Error de tipo II: no rechazamos la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. La probabilidad de cometer este tipo de error se denota como β .

La relación entre alfa y beta

Idealmente, los investigadores quieren que tanto la probabilidad de cometer un error de tipo I como la probabilidad de cometer un error de tipo II sean bajas.

Sin embargo, existe una compensación entre estas dos probabilidades. Si disminuimos el nivel alfa, podemos disminuir la probabilidad de rechazar una hipótesis nula cuando en realidad es cierta, pero esto en realidad aumenta el nivel beta: la probabilidad de que no rechacemos la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

La relación entre poder y beta

El poder de una prueba de hipótesis se refiere a la probabilidad de detectar un efecto o una diferencia cuando un efecto o una diferencia está realmente presente. En otras palabras, es la probabilidad de rechazar correctamente una hipótesis nula falsa.

Se calcula como:

Potencia = 1 – β

En general, los investigadores quieren que la potencia de una prueba sea alta para que, si existe algún efecto o diferencia, la prueba pueda detectarlo.

De la ecuación anterior, podemos ver que la mejor manera de aumentar la potencia de una prueba es reducir el nivel beta. Y la mejor forma de reducir el nivel beta suele ser aumentar el tamaño de la muestra.

Los siguientes ejemplos muestran cómo calcular el nivel beta de una prueba de hipótesis y demuestran por qué aumentar el tamaño de la muestra puede reducir el nivel beta.

Ejemplo 1: Calcular Beta para una prueba de hipótesis

Suponga que un investigador quiere probar si el peso medio de los aparatos producidos en una fábrica es inferior a 500 onzas. Se sabe que la desviación estándar de los pesos es de 24 onzas y el investigador decide recolectar una muestra aleatoria de 40 widgets.

Realizará la siguiente hipótesis en α = 0.05:

  • H 0 : μ = 500
  • H A : μ <500

Ahora imagine que el peso medio de los artilugios que se producen es en realidad de 490 onzas. En otras palabras, la hipótesis nula debe rechazarse.

Podemos utilizar los siguientes pasos para calcular el nivel beta: la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando en realidad debería rechazarse:

Paso 1: Encuentra la región de no rechazo.

Según la Calculadora de valor crítico Z , el valor crítico de cola izquierda en α = 0.05 es -1.645 .

Paso 2: Encuentre la media muestral mínima que no podremos rechazar.

La estadística de prueba se calcula como z = ( x – μ) / (s / √ n )

Por lo tanto, podemos resolver esta ecuación para la media muestral:

  • x = μ – z * (s / √ n )
  • x = 500 – 1,645 * (24 / √ 40 )
  • x = 493,758

Paso 3: Encuentre la probabilidad de que ocurra realmente la media mínima de la muestra.

Podemos calcular esta probabilidad como:

  • P (Z ≥ (493,758 – 490) / (24 / √ 40 ))
  • P (Z ≥ 0,99)

Según la calculadora CDF normal , la probabilidad de que Z ≥ 0,99 es 0,1611 .

Por tanto, el nivel beta de esta prueba es β = 0,1611. Esto significa que hay un 16,11% de posibilidades de no detectar la diferencia si la media real es de 490 onzas.

Ejemplo 2: Calcular Beta para una prueba con un tamaño de muestra mayor

Ahora suponga que el investigador realiza exactamente la misma prueba de hipótesis, pero en su lugar usa un tamaño de muestra de n = 100 widgets. Podemos repetir los mismos tres pasos para calcular el nivel beta de esta prueba:

Paso 1: Encuentra la región de no rechazo.

Según la Calculadora de valor crítico Z , el valor crítico de cola izquierda en α = 0.05 es -1.645 .

Paso 2: Encuentre la media muestral mínima que no podremos rechazar.

La estadística de prueba se calcula como z = ( x – μ) / (s / √ n )

Por lo tanto, podemos resolver esta ecuación para la media muestral:

  • x = μ – z * (s / √ n )
  • x = 500 – 1,645 * (24 / √ 100 )
  • x = 496,05

Paso 3: Encuentre la probabilidad de que ocurra realmente la media mínima de la muestra.

Podemos calcular esta probabilidad como:

  • P (Z ≥ (496,05 – 490) / (24 / √ 100 ))
  • P (Z ≥ 2,52)

Según la Calculadora CDF normal , la probabilidad de que Z ≥ 2,52 es 0,0059.

Por tanto, el nivel beta de esta prueba es β = 0,0059. Esto significa que hay solo un .59% de probabilidad de no detectar la diferencia si la media real es 490 onzas.

Observe que simplemente aumentando el tamaño de la muestra de 40 a 100, el investigador pudo reducir el nivel beta de 0,1611 hasta 0,0059.

Bonificación: utilice esta calculadora de errores de tipo II para calcular automáticamente el nivel beta de una prueba.

Recursos adicionales

Introducción a la prueba de hipótesis
Cómo escribir una hipótesis nula (5 ejemplos)
Una explicación de los valores P y la significancia estadística

  • https://r-project.org
  • https://www.python.org/
  • https://www.stata.com/

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