Experimentos binomiales: una explicación + ejemplos

Comprender los experimentos binomiales es el primer paso para comprender la distribución binomial .

Este tutorial define un experimento binomial y proporciona varios ejemplos de experimentos que se consideran y no se consideran experimentos binomiales.

Experimento binomial: definición

Un experimento binomial es un experimento que tiene las siguientes cuatro propiedades:

1. El experimento consta de n ensayos repetidos. El número n puede ser cualquier cantidad. Por ejemplo, si lanzamos una moneda 100 veces, entonces n = 100.

2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles. A menudo llamamos a los resultados un «éxito» o un «fracaso», pero un «éxito» es solo una etiqueta para algo que estamos contando. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, podríamos decir que una cara es un «éxito» y una cruz un «fracaso».

3. La probabilidad de éxito, denotada p , es la misma para cada prueba.Para que un experimento sea un verdadero experimento binomial, la probabilidad de «éxito» debe ser la misma para cada ensayo. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, la probabilidad de que salga cara («éxito») es siempre la misma cada vez que lanzamos la moneda.

4. Cada ensayo es independiente . Esto simplemente significa que el resultado de un ensayo no afecta el resultado de otro ensayo. Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda y cae cara. El hecho de que haya caído cara no cambia la probabilidad de que caiga cara en el próximo lanzamiento. Cada giro (es decir, cada «prueba») es independiente.

Ejemplos de experimentos binomiales

Los siguientes experimentos son todos ejemplos de experimentos binomiales.

Ejemplo 1

Lanza una moneda 10 veces. Registre el número de veces que aterriza en cruz.

Este es un experimento binomial porque tiene las siguientes cuatro propiedades:

• El experimento consta de n ensayos repetidos. En este caso, hay 10 ensayos.
• Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles.La moneda solo puede caer en cara o cruz.
• La probabilidad de éxito es la misma para cada prueba . Si definimos «éxito» como aterrizar en cara, entonces la probabilidad de éxito es exactamente 0,5 para cada intento.
• Cada ensayo es independiente . El resultado de un lanzamiento de moneda no afecta el resultado de cualquier otro lanzamiento de moneda.

Ejemplo # 2

Tira un dado de 6 caras 20 veces. Registre la cantidad de veces que aparece un 2.

Este es un experimento binomial porque tiene las siguientes cuatro propiedades:

• El experimento consta de n ensayos repetidos. En este caso, hay 20 ensayos.
• Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles.Si definimos un 2 como un «éxito», entonces cada vez que el dado cae en un 2 (un éxito) o en algún otro número (un fracaso).
• La probabilidad de éxito es la misma para cada prueba . Para cada prueba, la probabilidad de que el dado caiga en un 2 es 1/6. Esta probabilidad no cambia de un ensayo a otro.
• Cada ensayo es independiente . El resultado de una tirada no afecta el resultado de ninguna otra tirada.

Ejemplo # 3

Tyler hace el 70% de sus intentos de tiros libres. Suponga que hace 15 intentos. Registre el número de cestas que hace.

Este es un experimento binomial porque tiene las siguientes cuatro propiedades:

• El experimento consta de n ensayos repetidos. En este caso, hay 15 ensayos.
• Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles. Para cada intento, Tyler hace la canasta o la falla.
• La probabilidad de éxito es la misma para cada prueba . Para cada prueba, la probabilidad de que Tyler haga la canasta es del 70%. Esta probabilidad no cambia de un ensayo a otro.
• Cada ensayo es independiente . El resultado de un intento de tiro libre no afecta el resultado de ningún otro intento de tiro libre.

Ejemplos que no son experimentos binomiales

Ejemplo 1

Pregunte a 100 personas cuántos años tienen .

Este no es un experimento binomial porque hay más de dos resultados posibles.

Ejemplo # 2

Tira un dado de 6 caras justo hasta que salga un 5.

Este no es un experimento binomial porque no hay un número n predefinido de ensayos. No tenemos idea de cuántos rollos se necesitarán hasta que aparezca un 5.

Ejemplo # 3

Saque 5 cartas de una baraja de cartas.

Este no es un experimento binomial porque el resultado de una prueba (por ejemplo, sacar una determinada carta de la baraja) afecta el resultado de las pruebas futuras.

Ejemplo y solución de un experimento binomial

El siguiente ejemplo muestra cómo resolver una pregunta sobre un experimento binomial.

Lanzas una moneda 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga cara exactamente 7 veces?

Siempre que estemos interesados ​​en encontrar la probabilidad de n éxitos en un experimento binomial, debemos usar la siguiente fórmula:

P (exactamente k éxitos) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

dónde:

• n: el número de ensayos
• k: el número de éxitos
• C: el símbolo de «combinación»
• p: probabilidad de éxito en una prueba determinada

Al colocar estos números en la fórmula, obtenemos:

P (7 cabezas) = ₁₀ C ₇ * 0.5 ⁷ * (1-0.5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0.11719 .

Por tanto, la probabilidad de que la moneda caiga en cara 7 veces es 0,11719 .

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