Aproximación normal al binomio: definición y ejemplo

Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial con n ensayos y p probabilidad de éxito en un ensayo dado, entonces podemos calcular la media (μ) y la desviación estándar (σ) de X usando las siguientes fórmulas:

• μ = np
• σ = √ np (1-p)

Resulta que si n es lo suficientemente grande, entonces podemos usar la distribución normal para aproximar las probabilidades relacionadas con la distribución binomial. Esto se conoce como aproximación normal al binomio .

Para que n sea ​​»suficientemente grande», debe cumplir los siguientes criterios:

• np ≥ 5
• n (1-p) ≥ 5

Cuando se cumplen ambos criterios, podemos usar la distribución normal para responder preguntas de probabilidad relacionadas con la distribución binomial.

Sin embargo, la distribución normal es una distribución de probabilidad continua mientras que la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, por lo que debemos aplicar una corrección de continuidad al calcular las probabilidades.

En términos simples, una corrección de continuidad es el nombre que se le da a sumar o restar 0.5 a un valor x discreto.

Por ejemplo, suponga que nos gustaría encontrar la probabilidad de que una moneda caiga en cara menor o igual a 45 veces durante 100 lanzamientos. Es decir, queremos encontrar P (X ≤ 45). Para usar la distribución normal para aproximar la distribución binomial, encontraríamos en cambio P (X ≤ 45.5).

La siguiente tabla muestra cuándo debe sumar o restar 0.5, según el tipo de probabilidad que está tratando de encontrar:

El siguiente ejemplo paso a paso muestra cómo utilizar la distribución normal para aproximar la distribución binomial.

Ejemplo: Aproximación normal al binomio

Suponga que queremos saber la probabilidad de que una moneda caiga en cara menor o igual a 43 veces durante 100 lanzamientos.

En esta situación tenemos los siguientes valores:

• n (número de ensayos) = 100
• X (número de éxitos) = 43
• p (probabilidad de éxito en una prueba determinada) = 0,50

Para calcular la probabilidad de que la moneda caiga en cara menor o igual a 43 veces, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Verifique que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande para usar la aproximación normal.

Primero, debemos verificar que se cumplan los siguientes criterios:

• np ≥ 5
• n (1-p) ≥ 5

En este caso, tenemos:

• np = 100 * 0,5 = 50
• n (1-p) = 100 * (1 – 0.5) = 100 * 0.5 = 50

Ambos números son mayores que 5, por lo que podemos usar la aproximación normal con seguridad.

Paso 2: Determine la corrección de continuidad que se aplicará.

Refiriéndonos a la tabla anterior, vemos que debemos sumar 0.5 cuando estamos trabajando con una probabilidad en la forma de X ≤ 43. Por lo tanto, encontraremos P (X <43.5).

Paso 3: Encuentre la media (μ) y la desviación estándar (σ) de la distribución binomial.

μ = n * p = 100 * 0.5 = 50

σ = √ n * p * (1-p) = √ 100 * .5 * (1-.5) = √ 25 = 5

Paso 4: Encuentre el puntaje z usando la desviación estándar y media encontrada en el paso anterior.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Paso 5: Encuentre la probabilidad asociada con el puntaje z.

Podemos usar la calculadora CDF normal para encontrar que el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de -1.3 es .0968 .

Por lo tanto, la probabilidad de que una moneda caiga en cara menor o igual a 43 veces durante 100 lanzamientos es .0968 .

Este ejemplo ilustró lo siguiente:

• Tuvimos una situación en la que una variable aleatoria seguía una distribución binomial.
• Queríamos encontrar la probabilidad de obtener un cierto valor para esta variable aleatoria.
• Dado que el tamaño de la muestra (n = 100 ensayos) era suficientemente grande, pudimos utilizar la distribución normal para aproximar la distribución binomial.

Este es un ejemplo completo de cómo usar la aproximación normal para encontrar probabilidades relacionadas con la distribución binomial.

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