¿Qué es una función de masa de probabilidad (PMF) en estadística?

Actualizado el 27 de agosto de 2022, por Luis Benites.

Una función de masa de probabilidad , a menudo abreviada PMF , nos dice la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome un cierto valor.

Por ejemplo, supongamos que tiramos un dado una vez. Si dejamos que x denote el número en el que caen los dados, entonces la probabilidad de que x sea ​​igual a diferentes valores se puede describir de la siguiente manera:

• P (X = 1): 1/6
• P (X = 2): 1/6
• P (X = 3): 1/6
• P (X = 4): 1/6
• P (X = 5): 1/6
• P (X = 6): 1/6

Existe la misma posibilidad de que los dados caigan en cualquier número entre 1 y 6.

Así es como escribiríamos estas probabilidades como una función de masa de probabilidad:

El lado izquierdo del diagrama muestra la probabilidad asociada con los resultados en el lado derecho:

Una característica de una función de masa de probabilidad es que todas las probabilidades deben sumar 1. Notarás que este PMF satisface esa condición:

Suma de probabilidades = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

El soporte de una función de masa de probabilidad se refiere al conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria discreta. En este ejemplo, el soporte sería {1, 2, 3, 4, 5, 6} ya que el valor de los dados puede tomar cualquiera de estos valores.

Fuera del soporte, el valor del PMF es igual a cero. Por ejemplo, la probabilidad de que los dados caigan en «0», «7» u «8» es igual a cero, ya que ninguno de estos números está incluido en el soporte.

Funciones de masa de probabilidad en la práctica

Los dos ejemplos más comunes de funciones de masa de probabilidad en la práctica son la distribución binomial y la distribución de Poisson .

Distribución binomial

Si una variable aleatoria X sigue una distribución binomial, entonces la probabilidad de que X = k éxitos se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

P (X = k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

dónde:

• n: número de ensayos
• k: número de éxitos
• p: probabilidad de éxito en una prueba determinada
• _n C _k : el número de formas de obtener k éxitos en n ensayos

Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda 3 veces. Podemos usar la fórmula anterior para determinar la probabilidad de obtener 0, 1, 2 y 3 caras durante estos 3 lanzamientos:

• P (X = 0) = ₃ C ₀ * .5 ⁰ * (1-.5) ^3-0 = 1 * 1 * (.5) ³ = 0.125
• P (X = 1) = ₃ C ₁ * .5 ¹ * (1-.5) ^3-1 = 1 * 1 * (.5) ² = 0.375
• P (X = 2) = ₃ C ₂ * .5 ² * (1-.5) ^3-2 = 1 * 1 * (.5) ¹ = 0.375
• P (X = 3) = ₃ C ₃ * .5 ³ * (1-.5) ^3-3 = 1 * 1 * (.5) ⁰ = 0.125

Distribución de Poisson

Si una variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson, entonces la probabilidad de que X = k éxitos se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

P (X = k) = λ ^k * e ^{– λ} / k!

dónde:

• λ: número medio de éxitos que ocurren durante un intervalo específico
• k: número de éxitos
• e: una constante igual a aproximadamente 2.71828

Por ejemplo, suponga que un hospital en particular experimenta un promedio de 2 partos por hora. Podemos usar la fórmula anterior para determinar la probabilidad de experimentar 0, 1, 2, 3 nacimientos, etc.en una hora determinada:

• P (X = 0) = 2 ⁰ * e ^– 2/0! = 0,1353
• P (X = 1) = 2 ¹ * e ^{– 2/1} ! = 0,2707
• P (X = 2) = 2 ² * e ^– 2/2! = 0,2707
• P (X = 3) = 2 ³ * e ^– 2/3! = 0,1805

Visualización de un PMF

A menudo visualizamos funciones de masa de probabilidad con gráficos de barras.

Por ejemplo, el siguiente gráfico de barras muestra las probabilidades asociadas con el número de nacimientos por hora para la distribución de Poisson descrita en el ejemplo anterior:

Tenga en cuenta que la cantidad de nacimientos podría extenderse hasta el infinito, pero las probabilidades se vuelven tan bajas después de 10 que ni siquiera podemos verlas en un gráfico de barras.

Propiedades de un PMF

Una función de masa de probabilidad tiene las siguientes propiedades:

1. Todas las probabilidades son positivas en el soporte. Por ejemplo, la probabilidad de que un dado caiga entre 1 y 6 es positiva, mientras que la probabilidad de todos los demás resultados es igual a cero.

2. Todos los resultados tienen una probabilidad entre 0 y 1. Por ejemplo, la probabilidad de que un dado caiga entre 1 y 6 es 1/6, o 0,1666666 para cada resultado.

3. La suma de todas las probabilidades debe sumar 1. Por ejemplo, la suma de probabilidades de que un dado caiga en un determinado número es 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1 / 6 = 1.

Recursos adicionales

¿Qué son las variables aleatorias?
CDF vs. PDF: ¿Cuál es la diferencia?
Introducción a la distribución binomial
Introducción a la distribución de Poisson

• https://r-project.org
• https://www.python.org/
• https://www.stata.com/