Bernoulli vs distribución binomial: ¿cuál es la diferencia?

Una variable aleatoria sigue una distribución de Bernoulli si solo tiene dos resultados posibles: 0 o 1.

Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda al aire una vez. Sea p la probabilidad de que caiga cara . Esto significa que la probabilidad de que caiga en cruz es de 1 p .

Así, podríamos escribir:

En este caso, la variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli. Solo puede tomar dos valores posibles.

Ahora, si lanzamos una moneda varias veces, la suma de las variables aleatorias de Bernoulli seguirá una distribución binomial.

Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda 5 veces y queremos saber la probabilidad de obtener caras k veces. Diríamos que la variable aleatoria X sigue una distribución Binomial.

Si una variable aleatoria X sigue una distribución binomial, entonces la probabilidad de que X = k éxitos se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

P (X = k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

dónde:

• n: número de ensayos
• k: número de éxitos
• p: probabilidad de éxito en una prueba determinada
• _n C _k : el número de formas de obtener k éxitos en n ensayos

Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda 3 veces. Podemos usar la fórmula anterior para determinar la probabilidad de obtener 0 caras durante estos 3 lanzamientos:

P (X = 0) = ₃ C ₀ * .5 ⁰ * (1-.5) ^3-0 = 1 * 1 * (.5) ³ = 0.125

Cuando n = 1 ensayo, la distribución Binomial es equivalente a la distribución de Bernoulli.

Notas importantes

Aquí hay un par de notas importantes con respecto a la distribución de Bernoulli y Binomial:

1. Una variable aleatoria que sigue una distribución de Bernoulli solo puede tomar dos valores posibles, pero una variable aleatoria que sigue una distribución Binomial puede tomar varios valores.

Por ejemplo, en un solo lanzamiento de moneda tendremos 0 o 1 cara. Sin embargo, en una serie de 5 lanzamientos de monedas, podríamos tener 0, 1, 2, 3, 4 o 5 caras.

2. Para que una variable aleatoria siga una distribución binomial, la probabilidad de «éxito» en cada ensayo de Bernoulli debe ser igual e independiente.

Por ejemplo, si definimos «éxito» como aterrizar en cara, entonces la probabilidad de éxito en cada lanzamiento de moneda es igual a 0.5 y cada lanzamiento es independiente; el resultado de un lanzamiento de moneda no afecta el resultado de otro.

Recursos adicionales

Introducción a los experimentos binomiales
Introducción a la distribución binomial
Comprensión de la forma de una distribución binomial

• https://r-project.org
• https://www.python.org/
• https://www.stata.com/