A menudo, en estadística, nos interesa estimar un parámetro de población utilizando una muestra.
Por ejemplo, podríamos querer saber la altura media de los estudiantes de una escuela en particular. Si la escuela tiene 1,000 estudiantes en total, podría llevar demasiado tiempo medir a cada estudiante, por lo que podríamos tomar una muestra aleatoria simple de 50 estudiantes y calcular la altura media de los estudiantes en esta muestra.
Y aunque la altura media de los estudiantes de la muestra podría ser una buena estimación de la media poblacional real, no hay garantía de que la media muestral sea exactamente igual a la media poblacional. En otras palabras, existe cierta incertidumbre.
Una forma de tener en cuenta la incertidumbre es crear un intervalo de confianza , que es un rango de valores que creemos que contiene el verdadero parámetro de población.
Por ejemplo, si la estatura media de los estudiantes de la muestra es 67 pulgadas, nuestro intervalo de confianza para la estatura media real de todos los estudiantes de la población podría ser [65 pulgadas, 69 pulgadas], lo que significa que estamos seguros de que la media verdadera la altura de los estudiantes de la población es de entre 65 y 69 pulgadas.
Un intervalo de confianza se compone de dos partes:
Estimación puntual: a menudo se trata de una media muestral o una proporción muestral.
Margen de error : un número que representa la incertidumbre de la estimación puntual.
La fórmula para crear un intervalo de confianza es:
Intervalo de confianza = estimación puntual +/- margen de error
Fórmula de margen de error
Si está creando un intervalo de confianza para una media poblacional , entonces la fórmula para el margen de error es:
Margen de error: Z * σ / √n
Dónde:
Z : puntuación Z
σ : desviación estándar de la población
n : tamaño de la muestra
Nota: Si se desconoce la desviación estándar de la población, puede reemplazar Z con t n-1 , que es el valor crítico t que proviene de la tabla de distribución t con n-1 grados de libertad.
Y si está creando un intervalo de confianza para una proporción de población , entonces la fórmula para el margen de error es:
Margen de error: Z * √ (p * (1-p)) / n)
Dónde:
Z : puntuación Z
p : proporción de la muestra
n : tamaño de la muestra
Tenga en cuenta que la puntuación Z que utilizará para este cálculo depende del nivel de confianza que haya elegido. La siguiente tabla muestra las puntuaciones Z asociadas con niveles de confianza comunes:
| Nivel de confianza | Puntuación Z |
|---|---|
| 80% | 1.282 |
| 85% | 1,44 |
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1,96 |
| 99% | 2.576 |
A continuación, veremos dos ejemplos de cómo calcular el margen de error en Excel.
Ejemplo 1: Margen de error para una media poblacional
Suponga que queremos encontrar la altura media de una determinada planta. Se sabe que la desviación estándar de la población, σ, es de 2 pulgadas. Recopilamos una muestra aleatoria de 100 plantas y encontramos que la media muestral es de 14 pulgadas. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la verdadera altura media de esta determinada planta.
Como estamos encontrando un intervalo de confianza para la altura media, la fórmula que usaremos para el margen de error es: Z * σ / √n
La siguiente imagen muestra cómo calcular el margen de error para este intervalo de confianza:
El margen de error resulta ser 0.392 .
Por lo tanto, el intervalo de confianza para la altura media real de las plantas sería 14 + / 0.392 = [13.608, 14.392].
Ejemplo 2: Margen de error para una proporción de población
Supongamos que queremos saber qué porcentaje de personas en una determinada ciudad apoyan a un candidato llamado Bob. En una muestra aleatoria simple de 200 personas, 120 dijeron que apoyaban a Bob (es decir, el 60% lo apoya). Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el porcentaje real de personas en toda la ciudad que apoyan a Bob.
Como estamos encontrando un intervalo de confianza para la altura media, la fórmula que usaremos para el margen de error es: Z * √ (p * (1-p)) / n)
La siguiente imagen muestra cómo calcular el margen de error para este intervalo de confianza:
El margen de error resulta ser 0.089 .
Por lo tanto, el intervalo de confianza para el porcentaje real de personas en esta ciudad que apoyan a Bob es 0,6 +/- 0,089 = [0,511, 0,689].
Notas sobre cómo encontrar el puntaje Z apropiado o el puntaje t
Si está encontrando el intervalo de confianza para la media de una población y no está seguro de si utilizar o no un Z-Score o un t-Score para el cálculo del margen de error, consulte este útil diagrama que le ayudará a decidir:
Además, si no tiene una tabla útil que le muestre qué Z-Score o t-Score usar según su intervalo de confianza, siempre puede usar los siguientes comandos en Excel para encontrar el Z-Score o t-Score correcto usar:
Para encontrar Z-Score: = NORM.INV (probabilidad, 0, 1)
Por ejemplo, para encontrar el puntaje Z asociado con un nivel de confianza del 95%, escribiría = INV.NORM (.975, 0, 1) , que resulta ser 1.96.
Para encontrar el puntaje t: = T.INV (probabilidad, grados de libertad)
Por ejemplo, para encontrar el t-Score asociado con un nivel de confianza del 90% y 12 grados de libertad, escribiría = T.INV (.95, 12) , que resulta ser 1.78.
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