Distribución de Skellam (Distribución de diferencia de Poisson)

Actualizado el 21 de mayo de 2022, por Luis Benites.

La distribución de Skellam (también llamada distribución de diferencia de Poisson ) es una distribución de probabilidad discreta que muestra diferencias entre conteos. Se deriva de las diferencias entre las variables aleatorias de Poisson (es decir, dos variables aleatorias que se originan a partir de una distribución de Poisson ) [1]. Aunque la distribución se usa generalmente para variables aleatorias independientes , se puede aplicar a un caso especial de variables dependientes cuando las dos variables tienen una contribución aleatoria aditiva común, que se cancela por diferenciación [2].

La distribución, formulada por primera vez por Skellam en 1946 [3], se utiliza en una gran cantidad de aplicaciones, entre ellas:

• Detección de imágenes y eliminación de ruido [4],
• Mostrando la distribución de puntos en los deportes, donde los puntos son iguales (por ejemplo, hockey, fútbol) [5],
• Estudiar los efectos del tratamiento [6],
• Modelado de ruido en imágenes PET [7].

Skellam Distribución PMF

Ejemplos de la función de masa de probabilidad para diferentes valores de la distribución Skellam.

La distribución Skellam, que devuelve valores entre (-∞, ∞), es una función de la diferencia k entre dos variables aleatorias de Poisson. Se expresa mediante la función de masa de probabilidad (PMF) como [8]: Donde:

• μ ₁ y μ ₂ son valores esperados o medias de dos distribuciones de Poisson,
• I _{k (z) es la} función de Bessel modificada de primera especie .

Referencias

Imagen de ejemplos de PMF Krishnavedala, CC0, vía Wikimedia Commons.
[1] Sellers, K. Una distribución que describe las diferencias comunes en los datos de conteo que contienen niveles comunes de dispersona. Avanzado y Aplicaciones en Ciencias Estadísticas. Volumen 7, Número 3, marzo-abril de 2012, páginas 35-46. Publicaciones del molino.
[2] Karlis, D. y Ntzoufras, I. (2003) “ Análisis de datos deportivos utilizando modelos bivariados de Poisson ”. Revista de la Royal Statistical Society, Serie D, 52 (3), 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
[3] Skellam, JG (1946) “La distribución de frecuencias de la diferencia entre dos variantes de Poisson pertenecientes a diferentes poblaciones”. Revista de la Royal Statistical Society, Serie A, 109 (3), 296.
[4] Hirakawa, K. et al. Estimación de la tasa de Poisson basada en wavelet utilizando la distribución de Skellam, en CA Bouman et al. (Editor). Actas del SPIE 7246 (2009).
[5] Karlis, D. & Ntoufras, I. Modelado bayesiano de resultados de fútbol: uso de la distribución de Skellam para la diferencia de goles. IMA J. Gerente Matemáticas 20(2) (2008), 133-145.
[6] Karlis, D. & Ntzoufras, I. Análisis bayesiano de las diferencias de datos de conteo, Stat. Medicina. 25 (2006), 185-1905.
[7] M. Yavuz y JA Fessler. Reconstrucción de imágenes de emisión de máxima probabilidad para escaneos de mascotas precorregidos aleatoriamente. En IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record, páginas 15/229–15/233, 2000
[8] Hwang, Y. et al. Sustracción de fondo estadística basada en las distribuciones exactas por píxel . MVA2007 Conferencia IAPR sobre aplicaciones de visión artificial, 16-18 de mayo de 2007, Tokio, JAPÓN