Actualizado por ultima vez el 7 de diciembre de 2021, por Luis Benites.
¿Qué es una distribución logarítmica?
La distribución logarítmica (también llamada distribución de serie logarítmica o distribución de serie logarítmica ) es una distribución de probabilidad discreta derivada de la expansión de la serie de Maclaurin . Tiene un parámetro β, que varía de 0 a 1, y una cola derecha larga. La distribución se utiliza para modelar una amplia gama de fenómenos, desde la frecuencia de reclamaciones de seguros hasta datos de diversidad de especies. Por ejemplo, Fisher, Corbet y Williams utilizaron la distribución de series logarítmicas en 1943 para muestrear mariposas y obtener datos de polillas en una trampa de luz [1].
PMF para la distribución logarítmica. Las líneas de colores son guías para el ojo: la distribución solo está definida para los números enteros 1, 2, 3, ….
Una variable aleatoria con esta distribución se puede denotar como X ~ Log(p); el RV tiene la función de masa de probabilidad de [2]: Donde γ = -1/ln(1 – β).
Una versión modificada llamada distribución logarítmica con ceros fue introducida en 1957 por Williams [3]; permite ceros y tiene la función generadora de probabilidad (PGF) :
Otros tipos de «distribución logarítmica»
A veces, el término «distribución logarítmica» se refiere a cualquier distribución que involucre logaritmos. Por ejemplo, la distribución lognormal , obtenida a partir de la distribución normal a través de una transformación , se denomina distribución logarítmica en la serie Springer en Statistics Life Distributions [4].
Otra variante que se encuentra en la literatura es la «distribución logarítmica», que tiene una forma ligeramente diferente de la función de masa de probabilidad.
La distribución logarítmica es una distribución de probabilidad discreta con salidas que disminuyen drásticamente a medida que aumentan los valores de x. La distribución se define solo para valores enteros x = 1, 2, 3, …. Ambos factores significan que la distribución tiene usos limitados en la vida real para el ajuste del modelo, pero algunos fenómenos naturales que experimentan una disminución rápida pueden ajustarse a un modelo logarítmico.
La función de masa de probabilidad es:
El PMF de c = 0,1 (izquierda) yc = 0,9 (derecha).
X ∼ logaritmo(c) indica que una variable aleatoria X tiene una distribución logarítmica con parámetro c.
Referencias
Imagen PMF: Qwfp,
[1]: RA Fisher, A. Steven Corbet, CB Williams. La relación entre el número de especies y el número de individuos en una muestra aleatoria de una población animal. El Diario de Ecología Animal, vol. 12, No. 1 (mayo de 1943), págs. 42-58. Recuperado el 15 de noviembre de 2021 de: https://www.math.mcgill.ca/dstephens/556-2008/Papers/Fisher1943.pdf
[2] DJ Best, JCW Rayner, O. Thas, “Tests of Fit for the Logarithmic Distribución”, Avances en Ciencias de la Decisión, vol. 2008, artículo ID 463781, 8 páginas, 2008. https://doi.org/10.1155/2008/463781
[3] Johnson, N. Kemp, A. Kotz, S. (2005). Distribuciones discretas univariadas. Wiley.
[4] Marshall AW, Olkin I. (2007) Distribuciones logarítmicas. En: Distribuciones de vida. Serie Springer en Estadística. Springer, Nueva York, NY. https://doi.org/10.1007/978-0-387-68477-2_12
