Introducción a la distribución multinomial

Actualizado el 7 de mayo de 2021, por Luis Benites.

La distribución multinomial describe la probabilidad de obtener un número específico de conteos para k resultados diferentes, cuando cada resultado tiene una probabilidad fija de ocurrir.

Si una variable aleatoria X sigue una distribución multinomial, entonces la probabilidad de que el resultado 1 ocurra exactamente x ₁ veces, el resultado 2 ocurra exactamente x ₂ veces, el resultado 3 ocurra exactamente x ₃ veces, etc. se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

Probabilidad = n! * (p ₁ ^{x ₁} * p ₂ ^{x ₂} *… * p _k ^{x _k} ) / (x ₁ ! * x ₂ !… * x _k !)

dónde:

• n: número total de eventos
• x ₁ : número de veces que ocurre el resultado 1
• p ₁ : probabilidad de que el resultado 1 ocurra en un ensayo dado

Por ejemplo, suponga que hay 5 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules en una urna. Si seleccionamos al azar 5 canicas de la urna, con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 canicas rojas, 2 canicas verdes y 1 canica azul?

Para responder a esto, podemos usar la distribución multinomial con los siguientes parámetros:

• n : 5
• x ₁ (# canicas rojas) = ​​2, x ₂ (# canicas verdes) = 2, x ₃ (# canicas azules) = 1
• p ₁ (prob. rojo) = 0.5, p ₂ (prob. verde) = 0.3, p ₃ (prob. azul) = 0.2

Reemplazando estos números en la fórmula, encontramos que la probabilidad es:

Probabilidad = 5! * (.5 ² * .3 ² * .2 ¹ ) / (2! * 2! * 1!) = 0.135 .

Problemas de práctica de distribución multinomial

Utilice los siguientes problemas de práctica para evaluar su conocimiento de la distribución multinomial.

Nota: Usaremos la Calculadora de distribución multinomial para calcular las respuestas a estas preguntas.

Problema 1

Pregunta: En una elección a tres bandas para alcalde, el candidato A recibe el 10% de los votos, el candidato B recibe el 40% de los votos y el candidato C recibe el 50% de los votos. Si seleccionamos una muestra aleatoria de 10 votantes, ¿cuál es la probabilidad de que 2 voten por el candidato A, 4 voten por el candidato B y 4 voten por el candidato C?

Respuesta: Usando la Calculadora de distribución multinomial con las siguientes entradas, encontramos que la probabilidad es 0.0504:

Problema 2

Pregunta: Suponga que una urna contiene 6 canicas amarillas, 2 canicas rojas y 2 canicas rosas. Si seleccionamos al azar 4 bolas de la urna, con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las 4 bolas sean amarillas?

Respuesta: Usando la Calculadora de distribución multinomial con las siguientes entradas, encontramos que la probabilidad es 0.1296:

Problema 3

Pregunta: Suponga que dos estudiantes juegan al ajedrez uno contra el otro. La probabilidad de que el estudiante A gane un juego dado es 0.5, la probabilidad de que el estudiante B gane un juego dado es 0.3 y la probabilidad de que empaten en un juego dado es 0.2. Si juegan 10 juegos, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador A gane 4 veces, el jugador B gane 5 veces y empate 1 vez?

Respuesta: Usando la calculadora de distribución multinomial con las siguientes entradas, encontramos que la probabilidad es 0.038272:

• https://r-project.org
• https://www.python.org/
• https://www.stata.com/