Función de probabilidad de registro

Actualizado por ultima vez el 16 de febrero de 2022, por Luis Benites.

función de verosimilitud logarítmica

El máximo de probabilidad logarítmica (l) es el mismo que el máximo de probabilidad (L).

Un método de verosimilitud es una medida de qué tan bien se ajusta un modelo particular a los datos; Explican qué tan bien un parámetro (θ) explica los datos observados. Los logaritmos de verosimilitud, la función de verosimilitud logarítmica , hace el mismo trabajo y generalmente se prefiere por varias razones:

  • La función logarítmica de verosimilitud en las estimaciones de máxima verosimilitud suele ser computacionalmente más sencilla [1].
  • Las probabilidades suelen ser números pequeños (o productos grandes), lo que dificulta su representación gráfica . Tomar el logaritmo natural ( base e ) da como resultado un mejor gráfico con grandes sumas en lugar de productos.
  • La función de probabilidad logarítmica suele ser (¡no siempre!) más fácil de optimizar .

Por ejemplo, supongamos que tiene un conjunto de observaciones iid x 1 , x 2 …x n con una función de densidad de probabilidad individual f X (x). Su función de densidad conjunta es:

f X 1 , X 2 X n (x 1 , x 2 …x n ) = f X (x 1 ) * f X (x 2 ) * … * f X (x n ) = Donde:
probabilidad de registro

  • Π = producto (multiplicación).

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los términos multiplicados, por lo que podemos reescribir la ecuación anterior con sumatoria en lugar de productos:

ln[f X (x 1 ) * f X (x 2 ) * … * f X (x n )] =

La relación anterior conduce directamente a la función de probabilidad logarítmica[2]:

l(Θ) = ln[ L (Θ)].

Aunque las funciones logarítmicas de verosimilitud son matemáticamente más sencillas que sus contrapartes multiplicativas, pueden ser difíciles de calcular a mano . Suelen calcularse con software.

Formulación de la función Log-Verosimilitud

El valor del parámetro que maximiza la probabilidad de observar datos se denomina estimación de máxima verosimilitud . Digamos que tenemos un conjunto de datos d compuesto por variables aleatorias D. Queremos usar los datos para estimar un parámetro θ.

Usos de la función Log-Verosimilitud

La función de probabilidad logarítmica aparece con frecuencia en la previsión y probabilidad de riesgos financieros y en las estadísticas, especialmente en el análisis de regresión /ajuste de modelos. Por ejemplo:

Referencias

[1] Robinson, E. (2016). Introducción a la estadística de probabilidad. Recuperado el 16 de abril de 2021 de: https://hea-www.harvard.edu/AstroStat/aas227_2016/lecture1_Robinson.pdf
[2] Edge, M. (2021). Pensamiento estadístico desde cero: una cartilla para científicos .

Tengo una Maestría en Ciencias en Estadística Aplicada y he trabajado en algoritmos de aprendizaje automático para empresas profesionales tanto en el sector de la salud como en el comercio minorista.

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