Cómo crear un intervalo de confianza utilizando la distribución F

Para determinar si las varianzas de dos poblaciones son iguales, podemos calcular la razón de varianza σ ² ₁ / σ ² ₂ , donde σ ² ₁ es la varianza de la población 1 y σ ² ₂ es la varianza de la población 2.

Para estimar la razón de varianza de la población real, normalmente tomamos una muestra aleatoria simple de cada población y calculamos la razón de varianza de la muestra, s ₁ ² / s ₂ ² , donde s ₁ ² y s ₂ ² son las varianzas de la muestra para la muestra 1 y la muestra. 2, respectivamente.

Esta prueba supone que tanto s ₁ ² como s ₂ ² se calculan a partir de muestras independientes de tamaño n ₁ y n ₂ , ambas extraídas de poblaciones con distribución normal.

Cuanto más alejada sea esta relación de uno, más fuerte será la evidencia de variaciones de población desiguales.

El intervalo de confianza del 100% (1-α) para σ ² ₁ / σ ² ₂ se define como:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 1 -1, n 2 -1, α / 2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 2 -1, n 1 -1, α / 2}

donde F _{n 2 -1, n 1 -1, α / 2} y F _{n 1 -1, n 2 -1, α / 2} son los valores críticos de la distribución F para el nivel de significancia elegido α.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo crear un intervalo de confianza para σ ² ₁ / σ ² ₂ utilizando tres métodos diferentes:

• Manualmente
• Usando Microsoft Excel
• Usando el software estadístico R

Para cada uno de los siguientes ejemplos, usaremos la siguiente información:

• α = 0,05
• n ₁ = 16
• n ₂ = 11
• s ₁ ² = 28,2
• s ₂ ² = 19,3

Crear un intervalo de confianza a mano

Para calcular un intervalo de confianza para σ ² ₁ / σ ² ₂ a mano, simplemente ingresaremos los números que tenemos en la fórmula del intervalo de confianza:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1, α / 2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α / 2}

Los únicos números que nos faltan son los valores críticos.Afortunadamente, podemos ubicar estos valores críticos en la tabla de distribución F :

F _{n2-1, n1-1, α / 2} = F _{10, 15, 0.025} = 3.0602

F _{n1-1, N2-1, α / 2} = 1 / F _{15, 10, 0.025} = 1 / 3,5217 = 0,2839

(Haga clic para acercar la mesa)

Ahora podemos insertar todos los números en la fórmula del intervalo de confianza:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1, α / 2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α / 2}

(28,2 / 19,3) * (0,2839) ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (28,2 / 19,3) * (3,0602)

0,4148 ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ 4,4714

Por tanto, el intervalo de confianza del 95% para la razón de las varianzas de la población es (0,4148, 4,4714) .

Crear un intervalo de confianza con Excel

La siguiente imagen muestra cómo calcular un intervalo de confianza del 95% para la proporción de variaciones de población en Excel. Los límites inferior y superior del intervalo de confianza se muestran en la columna E y la fórmula utilizada para encontrar los límites inferior y superior se muestra en la columna F:

Por tanto, el intervalo de confianza del 95% para la razón de las varianzas de la población es (0,4148, 4,4714) . Esto coincide con lo que obtuvimos cuando calculamos el intervalo de confianza a mano.

Creación de un intervalo de confianza con R

El siguiente código ilustra cómo calcular un intervalo de confianza del 95% para la proporción de varianzas de población en R:

# definir nivel de significancia, tamaños de muestra y varianzas de muestra
 alfa <- .05
n1 <- 16
n2 <- 11
var1 <- 28,2
var2 <- 19,3

#define F valores críticos
 upper_crit <- 1 / qf (alpha / 2, n1-1, n2-1)
criterio_inferior <- qf (alfa / 2, n2-1, n1-1)

#find intervalo de confianza
 lower_bound <- (var1 / var2) * lower_crit
límite_uperior <- (var1 / var2) * criterio_uperior

#output intervalo de confianza
 paste0 ("(", límite_inferior, ",", límite_uperior, ")")

# [1] "(0.414899337980266, 4.47137571035219)"

Por tanto, el intervalo de confianza del 95% para la razón de las varianzas de la población es (0,4148, 4,4714) . Esto coincide con lo que obtuvimos cuando calculamos el intervalo de confianza a mano.

Recursos adicionales

Cómo leer la tabla de distribución F
Cómo encontrar el valor crítico F en Excel

• https://r-project.org
• https://www.python.org/
• https://www.stata.com/