Actualizado por ultima vez el 24 de marzo de 2022, por Luis Benites.
Es lógico pensar que las mismas probabilidades de cumpleaños para una persona que se encuentra con otra son 1/365 (365 días en el año y tu cumpleaños es uno de ellos).
Pero considere esto: si reúne a un grupo de 30 personas, dos de ellas casi definitivamente tendrán el mismo cumpleaños. Esto me voló la cabeza cuando era estudiante.
Había 30 estudiantes en mi clase de estadística de pregrado y el profesor dijo que las probabilidades de que dos de nosotros tuviéramos el mismo cumpleaños eran muy altas. De hecho, dos personas en la clase tenían el mismo cumpleaños. Esto no me pareció tener sentido, ya que hay 365 días en un año.
Mi razonamiento inicial (incorrecto)
Las probabilidades son 1/365 de que conoceré a otra persona con el mismo cumpleaños. Pero no estamos hablando solo de mí en una clase. Estamos hablando de que todos los estudiantes tienen esas probabilidades. Es como si tuviera una probabilidad de 1/10 de ganar la lotería y me encuentro con otra persona que también tiene una probabilidad de 1/10 de ganar la lotería, entonces combinados tenemos una probabilidad de 2/10 de ganar la lotería. Las probabilidades de una “coincidencia” aumentan con cada persona:
Yo conociendo a una persona con el mismo cumpleaños: 1/365
Yo y otro amigo conociendo a alguien con el mismo cumpleaños: 1/(365/2) = 183
Tres de nosotros conociendo a alguien con el mismo cumpleaños: 1/(365/3) = 1/122
…
Veintinueve de nosotros conociendo a alguien con el mismo cumpleaños: 1/12.
Esas son probabilidades bastante buenas, pero no lo suficientemente altas como para explicar todas esas coincidencias. Eso me dejó con un rompecabezas peculiar. Las probabilidades son en realidad mucho más altas (más del 100 por ciento para una clase de 30).
La razón tiene en cuenta todas las combinaciones posibles .
¡Por qué las probabilidades son en realidad mucho más altas!
Una persona tiene una probabilidad de 1/365 de conocer a alguien con el mismo cumpleaños.
Dos personas tienen una probabilidad de 1/183 de conocer a alguien con el mismo cumpleaños. ¡Pero! Esas dos personas también pueden tener el mismo cumpleaños, así que tienes que sumar probabilidades de 1/365 para eso. Las probabilidades se convierten en 1/365 + 1/182,5 = 0,008, o 0,8 por ciento.
Cuatro personas (llamémoslas ABCD) tienen una probabilidad de 1/91, pero hay 6 combinaciones posibles (AB AC AD BD BC CD), por lo que la probabilidad se convierte en 1/91 + 6/365… y así sucesivamente.
¡Puedes ver cómo no es tan fácil como solo x/365!
¡Una forma más fácil de calcular las mismas probabilidades de cumpleaños!
Si hay 30 estudiantes en una clase, hay 435 formas en que se pueden emparejar dos estudiantes. Las probabilidades de un «coincidencia» se convierten en 1/12 + 435/365… que es mucho mayor que el 100 por ciento.
Dado que las probabilidades son de 1/365 de que dos estudiantes coincidan en su fecha de nacimiento y hay 3 coincidencias posibles, no sorprende que dos de esos estudiantes compartan la misma fecha de nacimiento.
(Use la calculadora de combinaciones para calcular las combinaciones. ¡También mostrará una lista de todas las combinaciones de nombres posibles si realmente lo desea!).
¿Debo realizar este experimento en clase?
Seré el primero en admitir que no he usado esto en clase por la razón principal de que con 25 estudiantes en una clase, las probabilidades de que este experimento funcione son un poco más del 50/50. Una segunda razón es que las matemáticas anteriores están demasiado simplificadas para ser algo comprensibles . Incluso los estudiantes de matemáticas de tercer o cuarto año tendrán dificultades con las probabilidades «verdaderas» detrás de por qué esto funciona. Averiguar las mismas probabilidades de cumpleaños es muy complejo por muchas razones, entre ellas:
- Más personas nacen entre semana que los fines de semana; principalmente debido a las cesáreas y los partos inducidos que ocurren durante la semana, cuando los médicos prefieren trabajar.
- Las tendencias estacionales significan que más personas nacen en verano que en invierno.
Averiguar las verdaderas probabilidades involucra la lógica bayesiana; vaya a esta página de la Universidad de Stanford para obtener una explicación más detallada sobre la lógica bayesiana y las mismas probabilidades de cumpleaños.
Referencias
McCown, J. & Sequeira, M. (1994). Patrones en Matemáticas: Resolución de Problemas desde Contar hasta el Caos . Pws Pub Co.
