Se dice que una distribución de probabilidad en estadística tiene una propiedad sin memoria si la probabilidad de que ocurra algún evento futuro no se ve afectada por la ocurrencia de eventos pasados.
Solo hay dos distribuciones de probabilidad que tienen la propiedad sin memoria:
- La distribución exponencial con números reales no negativos.
- La distribución geométrica con números enteros no negativos.
Ambas distribuciones de probabilidad se utilizan para modelar la cantidad de tiempo esperada antes de que ocurra algún evento.
Resulta que, en un momento dado, saber cuánto tiempo ya ha pasado no nos informa si es más probable que ocurra algún evento tarde o temprano.
Los siguientes ejemplos nos ayudan a tener una mejor intuición de la propiedad sin memoria.
Una intuición de la propiedad sin memoria
Considere los siguientes ejemplos:
No sin memoria
Se sabe que una determinada marca de portátiles dura unos 6 años, en promedio, antes de morir. Por lo tanto, si sabemos que una computadora portátil en particular tiene 5 años, el tiempo esperado hasta que muere es bastante corto. Sin embargo, si otra computadora portátil tiene solo 1 año, el tiempo esperado hasta que muera es bastante largo.
En este ejemplo, conocer la cantidad de tiempo que ha pasado durante la vida útil de cada computadora portátil nos informa cuánto tiempo la computadora portátil seguirá funcionando hasta que muera. Por tanto, esta distribución de probabilidad no tendría una propiedad sin memoria.
Sin memoria
Supongamos que Jessica tiene una tienda de conveniencia. Quiere saber cuánto tiempo tendrá que esperar hasta que el próximo cliente entre en la tienda.
En este ejemplo, saber cuándo entró el último cliente a la tienda no es realmente útil para predecir cuándo entrará el próximo cliente porque cada cliente es independiente y exhibe un comportamiento individual.
Por tanto, esta distribución de probabilidad tendría una propiedad sin memoria. En otras palabras, la probabilidad de que ocurra algún evento futuro no se ve afectada por la ocurrencia de eventos pasados.
La propiedad sin memoria: una definición formal
En términos estadísticos formales, se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución de probabilidad con una propiedad sin memoria si para cualquier a y b en {0, 1, 2,…} es cierto que:
Pr (X> a + b | X ≥ a ) = Pr (X> b )
Por ejemplo, suponga que tenemos alguna distribución de probabilidad con una propiedad sin memoria y dejamos que X sea el número de intentos hasta el primer éxito. Si a = 30 y b = 10 entonces diríamos:
- Pr (X> a + b | X ≥ a ) = Pr (X> b )
- Pr (X> 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr (X> 10)
- Pr (X> 40 | X ≥ 30 ) = Pr (X> 10)
En otras palabras, si hemos tenido 30 pruebas sin éxito, entonces la probabilidad de que tengamos que esperar hasta la prueba n. ° 40 o más para experimentar un éxito es la misma que la probabilidad de comenzar en cero y esperar hasta la prueba n. ° 10. o más para experimentar el éxito.
Debido a que esta distribución de probabilidad tiene una propiedad sin memoria, significa que saber cuántas fallas hemos tenido hasta cierto punto todavía no nos informa sobre la probabilidad de fallas en el futuro.
La propiedad sin memoria: un ejemplo
Suponga que un promedio de 30 clientes por hora ingresa a una tienda y el tiempo entre llegadas se distribuye exponencialmente. En promedio, transcurren 2 minutos entre visitas sucesivas.
Suponga que han pasado 10 minutos desde que llegó el último cliente. Dado que se trata de un período de tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue en el próximo minuto.
Sin embargo, debido a que la distribución exponencial tiene una propiedad sin memoria, este no es el caso. El tiempo dedicado a esperar la llegada del próximo cliente no depende de cuánto tiempo haya pasado desde que llegó el último cliente.
Podemos probar esto usando el CDF de la distribución exponencial:
CDF: 1 – e -λx
donde λ se calcula como 1 / tiempo medio entre llegadas. En nuestro ejemplo, λ = 1/2 = 0.5.
Si dejamos a = 10 y b = 1, entonces tenemos:
- Pr (X> a + b | X ≥ a ) = Pr (X> b )
- Pr (X> 10 + 1 | X ≥ 10) = Pr (X> 1) = 1 – (1 – e – (0.5) (1) ) = 0.6065
Independientemente del tiempo transcurrido desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que pase más de un minuto hasta la próxima llegada es de 0,6065 .
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