Actualizado por ultima vez el 14 de enero de 2022, por Luis Benites.
¿Qué es un mapa lineal?
Un mapa lineal es una función de un espacio vectorial (el dominio ) a otro (el codominio ).
Si U es el dominio y V es el codominio, podemos llamar a nuestra transformación lineal T y definirla así:
T:U → V. Si U y V son iguales, nuestro mapa lineal se llama endomorfismo .
Propiedades
Toda función lineal tiene dos propiedades especiales. Por cada u 1 y u 2 en U
T(u 1 + tu 2 ) = T(u 1 ) + T(u 2 ).
Además, para todo u en U y a en C (es decir, para toda constante a)
T(au) = aT(u).
Estas dos propiedades juntas, se llaman linealidad . Dado que las transformaciones lineales conservan la operación, podemos aplicarlas antes o después de la suma o la multiplicación escalar, sin diferencia en el resultado.
Ejemplos de un mapa lineal
El mapa de identidad podría ser el ejemplo más simple de una transformación lineal. Esta es la transformación que mapea cada punto en sí mismo.
La función en el espacio de los números reales , f(x) = cx, es una función lineal. Esta función se puede dibujar como una línea que pasa por el origen .
Hay muchos mapas simples que no son lineales. Por ejemplo, para números reales, el mapa x: x → x + 1 no es lineal. También lo es el mapeo x → x 2 , también sobre números reales.
La siguiente serie de tres imágenes ilustra la función lineal f: R 2 → R 2 con f(x, y) = (2x, y). La componente y del vector sigue siendo la misma, mientras que la componente x se escala en dos, como se muestra en la primera imagen. La segunda imagen muestra la aditividad del mapa lineal: no importa si se suman dos vectores y luego se mapean, o si se mapean y luego se suman.
La tercera imagen demuestra que la transformación lineal es homogénea . Ya sea que el vector sea escalado y luego mapeado, o mapeado y luego escalado, el resultado final será el mismo.
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Función lineal: Referencias
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