Urna de Pólya: definición, ejemplos

Actualizado el 30 de septiembre de 2021, por Luis Benites.

¿Qué es una Urna Pólya?

La urna de Pólya es un famoso modelo de muestreo utilizado en probabilidad . Digamos que tienes una urna con bolas rojas y verdes. Eliges una bola al azar, anotas el color y vuelves a colocar la bola en la urna junto con otra bola del mismo color . El modelo resultante se llama proceso de la urna de Polya.

• Si agrega cero bolas, el proceso es el mismo que el muestreo con reemplazo .
• Si agrega -1 bola (en otras palabras, quita una bola en lugar de agregarla), es lo mismo que muestrear sin reemplazar .

En la mayoría de los casos, el proceso se usa solo con números enteros no negativos para que el proceso pueda continuar indefinidamente.

Probabilidades interesantes

En cualquier momento, el número de bolas en la urna es t + bolas rojas + bolas verdes, donde t es el número de intentos. En cualquier momento, las probabilidades de sacar una bola roja (o una bola verde) son exactamente las mismas. Es decir, para cualquier tiempo t≥1, la probabilidad de sacar una bola roja es:
PR _t = r / (r + g)
…y la probabilidad de sacar una bola verde es:
PG _t = g / (r + g) .

Si realmente ejecuta una simulación (puede encontrar una aquí en el sitio web de Andrew Mauboussin ), es posible que se sorprenda de los resultados. La lógica defectuosa (similar a la falacia del jugador ) podría decirle que si comienza con una proporción igual de bolas de colores, terminará con una proporción igual de bolas de colores. Sin embargo, eso no es cierto.

Digamos que comienzas con el mismo número de bolas (5 rojas, 5 verdes). Después de la primera prueba, si eliges una bola roja, habrá 6 bolas rojas y 5 verdes en el frasco. Eso crea una disparidad automática, en la que es más probable que elijas una bola roja que una verde en la próxima prueba. Las probabilidades ahora son 6/11 de que elijas una bola roja y 5/11 de que elijas una verde. Este factor puede aumentar desproporcionadamente. De hecho, hay infinitas formas en que la disparidad podría desarrollarse. Para 100 intentos, aquí hay dos formas en que se desarrolla la simulación:

Usos

La Urna Polya se usa como un ejercicio de probabilidad, de la misma manera que se introduce la probabilidad básica usando números extraídos de una máquina de bingo o cartones extraídos de una baraja. La urna muestra cómo los pequeños desequilibrios (como una bola roja adicional) pueden aumentar con el tiempo. Aunque es interesante estudiarlo con fines teóricos, es un modelo demasiado simple para tener algún uso en situaciones de la vida real, donde múltiples factores tienden a afectar los resultados.

Referencias

Mahmud, A. (2008). Modelos de urnas Polya . Chapman & Hall/CRC.