Varianza – Fórmulas, Cálculo y Ejercicios

Actualizado el 17 de julio de 2024, por Luis Benites.

La varianza es el valor esperado de la variación al cuadrado de una variable aleatoria a partir de su valor medio, en probabilidad y estadística. De manera informal, la varianza estima hasta qué punto un conjunto de números (aleatorios) se separan de su valor medio.

El valor de la varianza es igual al cuadrado de la desviación estándar , que es otra herramienta central.

La varianza se representa simbólicamente por σ ² , s ² o Var(X) ..

Fórmulas de la Varianza

La fórmula de la varianza está dada por:

Fórmula de la Varianza Poblacional

Varianza = (Desviación estándar) ² = σ ²  … Forma poblacional

Varianza\ Poblacional\ \rightarrow \sigma^{2} = \frac{\sum (X-\mu)^{2}}{N}

μ = Media poblacional de todos los valores

N = Número total de valores en la población

Fórmula de la Varianza Muestral

Varianza = (Desviación estándar) ² = s ²  … Forma muestral

Varianza\ Muestral\ \rightarrow s^{2} = \frac{\sum (X-\bar{X})^{2}}{n-1}

n = Número de observaciones en el conjunto de muestra

Fórmula de la Varianza de una variable aleatoria

Var(X)= E[(X -\mu)^{2}]

Propiedades de la Varianza

La varianza, var(X) de una variable aleatoria X tiene las siguientes propiedades.

• Var(X + C) = Var(X), donde C es una constante.
• Var(CX) = C 2 .Var(X), donde C es una constante.
• Var(aX + b) = a 2 .Var(X), donde a y b son constantes.

La independencia de dos variables nos asegura que su covarianza es cero.

• Si X 1 , X 2 ,……., X n son n variables aleatorias independientes, entonces:
• Var(X 1 + X 2 +……+ X n ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) +……..+Var(X n ).
  Ahora echemos un vistazo a la relación entre la varianza y la desviación estándar.

Varianza y desviación estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Los símbolos σ y s se utilizan correspondientemente para representar las desviaciones estándar de la población y la muestra.

La desviación estándar es una medida de cuán dispersos están los datos. Su fórmula es sencilla; es la raíz cuadrada de la varianza de ese conjunto de datos. Está representado por el símbolo griego sigma (σ) .

Interpretación de la Varianza

La Varianza no es fácil de interpretar, puesto que solo es un medio para llegar a la desviación estándar la cual es sencilla de exponer. Un caso en el que puede ser mejor utilizar la varianza que la desviación estándar es cuando se realiza un trabajo estadístico teórico. En este caso, es mucho más fácil usar la varianza al hacer cálculos, ya que no es necesario usar un signo de raíz cuadrada. En resumen, se podría interpretar la varianza como un cuadrado de la dispersión promedio de los datos.

Una explicación simple de cómo interpretar la varianza

¿Cómo calcular la varianza?

Simplemente es igual a calcular la desviación estándar, ignorando el ultimo paso que es sacar la raíz cuadrada.

La varianza se puede calcular fácilmente siguiendo los pasos que se indican a continuación:

• Calcule la media para el conjunto de datos dado.
• Resta la media de cada observación y calcula el cuadrado en cada instancia.
• Suma todos los valores y divídelos entre (N) o (n-1), según corresponda.
• Listo

Ejercicio del cálculo de la varianza

Ejercicio 1 de Varianza

Considere los siguientes números; 4, 2, 5, 8, 6.

1.Calcule la media para el conjunto de datos dado.

media = (4 + 2 + 5 + 6 + 8) / 5

media = 5

2. Resta la media de cada observación y calcula el cuadrado en cada instancia.

(4-5)^2 = 1

(2-5)^2 = 9

(5-5)^2 = 0

(6-5)^2 = 1

(8-5)^2=9

3. Suma todos los valores y divídelos entre (N) o (n-1), según corresponda.

Varianza = (1+9+0+1+9)/(5-1)

Varianza = 20/4

Varianza = 5

Hemos calculado que la varianza de nuestro conjunto de datos muestrales es 5. Si le sacamos la raíz, terminaremos obteniendo la desviación estándar.

Ejercicio 2 de Varianza

Encuentra la varianza de los números 3, 8, 6, 10, 12, 9, 11, 10, 12, 7.

Para este ejercicio supondremos que se trata de la población.

Paso 1: Calcule la media de los 10 valores dados.

μ = Media = (3+8+6+10+12+9+11+10+12+7) / 10 = 88 / 10

μ = Media = 88/10

μ = Media = 8,8

Paso 2: Haz una tabla con tres columnas, una para los valores de X, la segunda para las desviaciones y la tercera para las desviaciones al cuadrado. Como los datos no se dan como datos de muestra, usamos la fórmula para la varianza de la población. Por lo tanto, la media se denota por μ.

Paso 3:

Recordando la fórmula, tenemos que dividir nuestra suma entre el tamaño de la población.

\sigma ^{2} = \frac{\sum (X-\mu)^{2}}{N}

Varianza =73.6 / 10

Varianza = 7.36

Puntos para recordar sobre la varianza

• En estadística, la varianza se usa para comprender cómo los diferentes números se correlacionan entre sí dentro de un conjunto de datos, en lugar de usar métodos matemáticos más completos, como organizar los números del conjunto de datos en cuartiles.
• La varianza considera que todas las desviaciones de la media son iguales a pesar de su dirección. Sin embargo, las desviaciones al cuadrado no pueden sumar cero y proporcionan la presencia de ninguna variabilidad en el conjunto de datos dado.
• Una de las desventajas de encontrar la varianza es que otorga un peso combinado a los valores extremos, es decir, los números que están lejos de la media. Al elevar al cuadrado estos números, existe la posibilidad de que sesguen el conjunto de datos dado.
• Otra desventaja de la varianza es que a veces puede concluir cálculos complejos.
  Nota : Si los valores de los datos son idénticos en un conjunto, entonces su varianza será cero (0).

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Preguntas frecuentes sobre la Varianza

¿Qué es la varianza en las estadísticas?

En estadística, la varianza es una medida de la dispersión de valores u observaciones a partir de la media.

¿Cuál es el símbolo de la varianza?

La varianza se indica con los símbolos: σ ² , s ² o Var(X).

¿Cuál es la fórmula para encontrar la varianza?

La fórmula para encontrar la varianza está dada por:

Var (X) = E[( X – μ) ² ]  Donde Var (X) es la varianza

E denota el valor esperado

X es la variable aleatoria y μ es la media

¿Cómo encontrar la varianza fácilmente?

Para encontrar la varianza fácilmente, primero debemos encontrar la media de las observaciones dadas. Luego reste este valor medio de cada una de las observaciones y elévelas al cuadrado. Por último, encuentre la media de los términos al cuadrado para obtener la varianza.

¿Cuál es la relación entre la varianza y la desviación estándar?

La varianza es el cuadrado de la desviación estándar para un conjunto dado de observaciones. Si σ es la desviación estándar, entonces la varianza es igual a σ 2 .