Actualizado por ultima vez el 29 de diciembre de 2021, por Luis Benites.
Una caminata aleatoria es una secuencia de pasos discretos de longitud fija en direcciones aleatorias.
Los paseos aleatorios pueden ser unidimensionales, bidimensionales o n-dimensionales para cualquier n. Una caminata aleatoria también se puede limitar a una red.
Un enrejado.
El paseo aleatorio más simple: caminar en una dimensión
Los paseos aleatorios son más simples cuando se toman en una dimensión. Imagínese parado en el punto 0 en una recta numérica o barra de equilibrio, donde tiene dos direcciones posibles para el movimiento: hacia adelante o hacia atrás. Lanza una moneda para elegir tu dirección, la cara es hacia adelante, la cruz hacia atrás. Después de cada lanzamiento de la moneda, solo da un paso; luego voltea de nuevo.
Acabas de dar un paseo al azar.
Puede registrar su caminata aleatoria como una serie de números. Tenga en cuenta que esta serie de caminata aleatoria es diferente a una serie de números aleatorios porque cada número en una serie es una modificación del número anterior.
Es tan probable que avance como que retroceda, por lo que si toma el promedio de su secuencia numérica , será solo 0 (su origen). Sin embargo, su distancia promedio desde el origen está relacionada con la distancia que cada paso le lleva desde el origen, y dado que todos esos son números positivos, el promedio también será positivo. Para encontrar esto, usamos el promedio cuadrático medio ; el número que obtenemos cuando elevamos al cuadrado todas nuestras distancias, encontramos el promedio de ellas y luego sacamos la raíz cuadrada de ese promedio. La raíz de la distancia cuadrática media desde el origen está dada por √ n
Historia de los paseos aleatorios
Karl Pearson comenzó una discusión sobre los paseos aleatorios en 1905, en una carta a Nature . Preguntó cuál era la probabilidad de que un hombre, caminando al azar, alcanzara una distancia de r en x pasos. Una semana después, su pregunta fue respondida por Lord Rayleigh. Este fue el comienzo de la investigación sobre las propiedades únicas de la caminata aleatoria; investigación que resultó muy útil cuando se utilizaron caminatas aleatorias para modelar problemas en ciencias y estudios sociales.
Paseos aleatorios en dos dimensiones
Para imaginar una caminata aleatoria en dos dimensiones, imagine que tiene cuatro direcciones posibles en las que puede moverse: derecha, izquierda, adelante o atrás. Para elegir la dirección de cada paso, lanzas una moneda dos veces. El primer giro decide entre derecha/izquierda y adelante/atrás, el siguiente decide en cuál de las dos direcciones vas.
La raíz de la distancia cuadrática media desde el origen sigue estando dada por √ n, al menos si cada paso tiene una unidad de largo; si cada paso tiene k unidades de largo, su distancia rms es k √ n
Aquí hay algo genial: se ha demostrado que en una red bidimensional (como la que se encuentra en la parte superior de este artículo), tu caminata aleatoria tiene una probabilidad de 1 de llegar a cualquier punto a medida que el número de pasos se aproxima al infinito. Eso incluye el punto de partida. Entonces, si caminas para siempre, eventualmente llegarás a donde vas: al menos, si tu mundo es un entramado bidimensional y vas en una caminata aleatoria.
Aplicaciones de paseos aleatorios
Los paseos aleatorios se utilizan para modelar muchos procesos en Química, Física y Biología. Por ejemplo, pueden brindarnos una buena comprensión de los procesos estadísticos involucrados en la deriva genética y describen una cadena ideal en la física de polímeros. También son importantes en finanzas, psicología, ecología e informática.
Referencias
El paseo aleatorio simple. Recuperado el 10/09/2017 de: http://www.math.uah.edu/stat/bernoulli/Walk.html
Random Walks: The Mathematics in 1 Dimension. Recuperado el 10/09/2017 de: http://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis%28AndreaSchmidt%29/random.htm
