Teorema multinomial

Actualizado por ultima vez el 28 de diciembre de 2021, por Luis Benites.

Es posible que desee leer este artículo primero:
¿Qué es el coeficiente multinomial?

El teorema multinomial proporciona una manera fácil de expandir la potencia de una suma de variables . Como «multinomio» es solo otra palabra para polinomio, esto también podría llamarse el teorema del polinomio .

Nos dice que cuando expandes cualquier multinomio (x 1 + x 2 + ….x k ) n los coeficientes de cada término x 1 n 1 x 2 n 2 ….x k n k en el polinomio resultante serán: Esto es llamado coeficiente multinomial , y n 1 , n 2 ,…., n k son números enteros que se suman para hacer n .

Entonces, el signo de exclamación significa un factorial , donde multiplicas un número entero por todos los números enteros más pequeños que él. Por ejemplo, 5! = 5x4x3x2x1 = 120.

El teorema del binomio es un caso especial del teorema del multinomio.

El teorema multinomial en combinatoria

Suponga que tiene n elementos distintos y diferenciables que está colocando en k grupos distintos. Si coloca n 1 elemento en el grupo 1, n 2 elementos en el grupo dos, y así sucesivamente hasta que coloque n k elementos en el último grupo, el número de permutaciones distinguibles viene dado por el coeficiente multinomial :

El coeficiente multinomial también se puede usar para encontrar el número de permutaciones distinguibles de n objetos cuando n= n 1 + n 2 +….+n k y tiene n 1 elementos de tipo 1, n 2 elementos de tipo 2 y n k elementos de tipo k para cada k. Aquí, nuevamente, el número de permutaciones viene dado por la fórmula multinomial (arriba).

Ejemplos

¿Cuántas palabras puedes formar con las letras en matemática ? La palabra matemática contiene 2 m, 3 a, 2 t, una h, una e, una i, una c y una l. Usa la fórmula anterior y verás que el número de permutaciones será . Trabaja el factorial y obtienes 19958400. Así que hay 19958400 permutaciones posibles de las letras en la palabra matemática .

Para otro ejemplo, divida una clase de 15 en grupos de 3 para un proyecto final. Los grupos están numerados de la a a la e. Hay formas de dividir la clase. Agrupe a los estudiantes al azar, y cualquier estudiante tendrá una probabilidad de 1 en 168168000 de terminar en cualquier grupo con dos amigos en particular.

Fuentes

Introducción a la Probabilidad: Coeficientes Multinomiales
Permutaciones y Combinaciones
Coeficientes Multinomiales

Tengo una Maestría en Ciencias en Estadística Aplicada y he trabajado en algoritmos de aprendizaje automático para empresas profesionales tanto en el sector de la salud como en el comercio minorista.

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