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Actualizado el 28 de enero de 2022, por Luis Benites.
Los coeficientes binomiales nos dicen cuántas maneras hay de elegir k cosas de un conjunto más grande . Más formalmente, se definen como los coeficientes de cada término en (1+x) n . Escrito como 
Una notación alternativa es n C k .
Para valores enteros no negativos de n (número en el conjunto) y k (número de elementos que elija), cada coeficiente binomial n C k viene dado por la fórmula: El “!” símbolo es un factorial .
Ejemplos
Imagina que tienes 5 elementos {a, b, c, d, f}. Para saber cuántos subconjuntos diferentes de 2 elementos tiene, mira el coeficiente binomial 5 C 2 . Esto es igual a 10.
Para una explicación más detallada de cómo resolver una fórmula como esta, mira el siguiente video:
5C3 o 5 elige 3 
Mira este video en YouTube .
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Para un ejemplo más concreto, suponga que el presidente de un club de estudiantes debe elegir a tres miembros de una junta asesora de un grupo de 24 profesores. Para averiguar de cuántas maneras podría hacer esta elección, mire el coeficiente binomial 24 C 3 , 24 !/(3! 21!)= 2024. Entonces, el presidente del club de estudiantes tiene 2024 opciones de gabinete.
Importancia del Coeficiente Binomial en Estadística
El coeficiente binomial es mucho más que una simple fórmula para calcular de cuántas maneras puede obtener un consejo asesor de un grupo de candidatos, un pin de 4 dígitos de un conjunto de 10 dígitos o un plato de manzanas de un contenedor del mismo . También es parte de la descripción de la distribución binomial, una distribución de probabilidad simple para situaciones de 2 resultados frecuentes.
Si sus observaciones son independientes , cada una representa uno de dos resultados (piense: éxito y fracaso), su número de intentos es fijo y la probabilidad de éxito es la misma para cada intento, entonces la probabilidad de que tenga exactamente r éxitos durante su n independiente ensayos serán Esta fórmula representa la distribución binomial. Aquí p es la probabilidad de éxito en cada caso y q=1-p, la probabilidad de fracaso.
El coeficiente binomial n elige r te dice cuántas secuencias de éxito-fracaso, del conjunto de todas las secuencias posibles, darán como resultado exactamente r éxitos. La probabilidad de que ocurra cada una de esas secuencias individuales es simplemente p r q n-r .
Referencias
Coeficientes binomiales @ Dartmouth. Recuperado el 27 de septiembre de 2017 de: https://math.dartmouth.edu/archive/m19w03/public_html/Section1-3.pdf
CS4205 Coeficientes binomiales. Recuperado el 27 de septiembre de 2017 de: http://www.cs.columbia.edu/~cs4205/files/CM4.pdf
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