La distribución de Poisson es una de las distribuciones más populares en estadística. Para comprender la distribución de Poisson, es útil comprender primero los experimentos de Poisson.
Experimentos de Poisson
Un experimento de Poisson es un experimento que tiene las siguientes propiedades:
- Se puede contar el número de éxitos del experimento.
- Se conoce el número medio de éxitos que se producen durante un intervalo de tiempo (o espacio) específico.
- Cada resultado es independiente.
- La probabilidad de que ocurra un éxito es proporcional al tamaño del intervalo.
Un ejemplo de un experimento de Poisson es el número de nacimientos por hora en un hospital determinado. Por ejemplo, suponga que un hospital en particular experimenta un promedio de 10 partos por hora. Este es un experimento de Poisson porque tiene las siguientes cuatro propiedades:
- Se puede contar el número de éxitos en el experimento. Podemos contar el número de nacimientos.
- Se conoce el número medio de éxitos que se producen durante un intervalo de tiempo específico. Se sabe que se produce un promedio de 10 partos por hora.
- Cada resultado es independiente: la probabilidad de que una madre dé a luz durante una hora determinada es independiente de la probabilidad de que otra madre dé a luz.
- La probabilidad de que ocurra un éxito es proporcional al tamaño del intervalo; cuanto más largo sea el intervalo de tiempo, mayor será la probabilidad de que ocurra un nacimiento.
Podemos usar la distribución de Poisson para responder preguntas sobre probabilidades con respecto a este experimento de Poisson como:
- ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran más de 12 nacimientos en una hora determinada?
- ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran menos de 5 nacimientos en una hora determinada?
- ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran entre 8 y 11 nacimientos en una hora determinada?
La distribución de Poisson
La distribución de Poisson describe la probabilidad de obtener k éxitos durante un intervalo de tiempo determinado.
Si una variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson, entonces la probabilidad de que X = k éxitos se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:
P (X = k) = λ k * e – λ / k!
dónde:
- λ: número medio de éxitos que ocurren durante un intervalo específico
- k: número de éxitos
- e: una constante igual a aproximadamente 2.71828
Por ejemplo, suponga que un hospital en particular experimenta un promedio de 2 partos por hora. Podemos usar la fórmula anterior para determinar la probabilidad de experimentar 0, 1, 2, 3 nacimientos, etc.en una hora determinada:
P (X = 0) = 2 0 * e – 2/0! = 0,1353
P (X = 1) = 2 1 * e – 2/1 ! = 0,2707
P (X = 2) = 2 2 * e – 2/2! = 0,2707
P (X = 3) = 2 3 * e – 2/3! = 0,1805
Podemos calcular la probabilidad de cualquier número de nacimientos hasta el infinito. Creamos y luego creamos un histograma simple para visualizar esta distribución de probabilidad:
Cálculo de probabilidades acumuladas de Poisson
Es sencillo calcular una sola probabilidad de Poisson (por ejemplo, la probabilidad de que un hospital experimente 3 nacimientos durante una hora determinada) usando la fórmula anterior, pero para calcular las probabilidades acumuladas de Poisson necesitamos sumar probabilidades individuales.
Por ejemplo, suponga que queremos saber la probabilidad de que el hospital experimente 1 o menos partos en una hora determinada. Usaríamos la siguiente fórmula para calcular esta probabilidad:
P (X≤1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0,1353 + 0,2707 = 0,406
Esto se conoce como probabilidad acumulativa porque implica sumar más de una probabilidad. Podemos calcular la probabilidad acumulada de experimentar k nacimientos o menos en una hora determinada usando una fórmula similar:
P (X≤0) = P (X = 0) = 0.1353
P (X≤1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0,1353 + 0,2707 = 0,406
P (X≤2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = 0.6767
Podemos calcular estas probabilidades acumuladas para cualquier número de nacimientos hasta el infinito. Luego podemos crear un histograma para visualizar esta distribución de probabilidad acumulativa:
Propiedades de la distribución de Poisson
La distribución de Poisson tiene las siguientes propiedades:
La media de la distribución es λ .
La varianza de la distribución también es λ .
La desviación estándar de la distribución es √ λ .
Por ejemplo, suponga que un hospital experimenta un promedio de 2 partos por hora.
El número medio de nacimientos que esperaríamos en una hora determinada es λ = 2 nacimientos.
La variación en el número de nacimientos que esperaríamos es λ = 2 nacimientos.
Problemas de práctica de distribución de Poisson
Utilice los siguientes problemas de práctica para evaluar su conocimiento de la distribución de Poisson.
Nota: Usaremos la Calculadora de distribución de Poisson para calcular las respuestas a estas preguntas.
Problema 1
Pregunta: Se sabe que un determinado sitio web realiza 10 ventas por hora. En una hora determinada, ¿cuál es la probabilidad de que el sitio realice exactamente 8 ventas?
Respuesta: Usando la calculadora de distribución de Poisson con λ = 10 y x = 8, encontramos que P (X = 8) = 0.1126 .
Problema 2
Pregunta: Se sabe que un determinado agente inmobiliario realiza un promedio de 5 ventas por mes. En un mes dado, ¿cuál es la probabilidad de que haga más de 7 ventas?
Respuesta: Usando la calculadora de distribución de Poisson con λ = 5 y x = 7, encontramos que P (X> 7) = 0.13337 .
Problema 3
Pregunta: Se sabe que cierto hospital experimenta 4 partos por hora. En una hora determinada, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 4 nacimientos o menos?
Respuesta: Usando la calculadora de distribución de Poisson con λ = 4 y x = 4, encontramos que P (X≤4) = 0.62884 .
Recursos adicionales
Los siguientes artículos explican cómo trabajar con la distribución de Poisson en diferentes softwares estadísticos:
Cómo usar la distribución de Poisson en R
Cómo usar la distribución de Poisson en Excel
Cómo calcular las probabilidades de Poisson en una calculadora TI-84
Ejemplos de la vida real de la distribución de Poisson Calculadora de distribución de
Poisson
- https://r-project.org
- https://www.python.org/
- https://www.stata.com/
