Distribución normal bivariada/normal multivariada (resumen)

Actualizado por ultima vez el 11 de mayo de 2022, por Luis Benites.

Contenido:

  1. Normal bivariado
  2. Normal multivariado

1. ¿Qué es una distribución normal bivariada?

La distribución normal «regular» tiene una variable aleatoria ; Una distribución normal bivariada se compone de dos variables aleatorias independientes. Las dos variables en una normal bivariada se distribuyen normalmente y tienen una distribución normal cuando ambas se suman. Visualmente, la distribución normal bivariada es una curva de campana tridimensional .

Francis Galton (1822-1911) fue uno de los primeros matemáticos en estudiar en profundidad la distribución normal bivariada, durante su estudio sobre la altura de los padres y sus hijos adultos. Bravais, Gauss, Laplace, Plana también estudiaron la distribución a principios del siglo XIX (Balakrishnan & Lai, 2009).

La distribución bivariada se puede describir de muchas maneras diferentes y, como tal, no existe un acuerdo unificado para una definición sucinta. Algunas de las formas más comunes de caracterizarlo incluyen:

  • Las variables aleatorias X & Y son normales bivariadas si aX + bY tiene una distribución normal para todo a,b∈R.
  • X e Y son conjuntamente normales si pueden expresarse como X = aU + bV, y Y = cU + dV (Bertsekas & Tsitsiklis, 2002)
  • Si a y b son constantes distintas de cero, aX + bY tiene una distribución normal (Johnson & Kotz, 1972).
  • Si X – aY e Y son independientes y si Y – bx y X son independientes para todo a,b (tal que ab ≠ 0 o 1), entonces (X,Y) tiene una distribución normal (Rao, 1975).

Hay literalmente docenas de diferentes variantes de estas definiciones. Esa es una de las razones por las que la normal bivariada generalmente se define en términos de su PDF .

PDF de la Distribución Normal Bivariada.

La distribución normal bivariada se puede definir como la función de densidad de probabilidad (PDF) de dos variables X e Y que son funciones lineales de las mismas variables aleatorias normales independientes (adaptado de Wolfram ): Donde:
distribución normal bivariada

Si p = 2, esto es igual a la distribución normal bivariada.

Para ver algunos gifs excelentes que muestran lo que sucede cuando se modifican algunos de estos parámetros, consulte la página de Brad Hartlaub en la universidad de Kenyon. Este muestra lo que sucede cuando se cambia μ1:

2. ¿Qué es una distribución normal multivariada?

La distribución normal multivariada tiene dos o más variables aleatorias, por lo que la distribución normal bivariada es en realidad un caso especial de la distribución normal multivariada. Dicho esto, si bien la normalidad bivariada se puede visualizar fácilmente (como se muestra en el gif anterior), más de dos variables plantean problemas con la visualización. Por lo tanto, el multinormal puede ser difícil de entender, al menos, visualmente. Dicho esto, si está familiarizado con el álgebra matricial, es bastante fácil trabajar con ella y es una de las distribuciones más importantes en las estadísticas multivariadas.

La distribución normal multivariante se describe con mayor frecuencia por su función de densidad conjunta. Un vector aleatorio multivariado normal px 1 X, con vector de media poblacional μ y matriz de varianza-covarianza poblacional σ, tendrá la siguiente función de densidad conjunta: Donde:
normal multivariado

  • |Σ| = determinante de la matriz de varianza-covarianza Σ
  • Σ -1 = inversa de la matriz de varianza-covarianza Σ

Referencias:
Balakrishnan,N. & Lai, C. (2009) Distribuciones bivariadas continuas.
Johnson & Kotz. (1972) Distribuciones en Estadística: Distribuciones multivariadas continuas.
Bertsekas y Tsitsiklis (2002). Introducción a la probabilidad (1ª ed.).
Rao, C. (1975). Algunos Problemas en la Caracterización de la Distribución Normal Multivariante .
Wolfram Mathworld. BND. Recuperado el 4 de agosto de 2017 de: http://mathworld.wolfram.com/BivariateNormalDistribution.html

Tengo una Maestría en Ciencias en Estadística Aplicada y he trabajado en algoritmos de aprendizaje automático para empresas profesionales tanto en el sector de la salud como en el comercio minorista.

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