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En la teoría de la probabilidad, la ley de la probabilidad total es una forma útil de encontrar la probabilidad de algún evento A cuando no conocemos directamente la probabilidad de A pero sabemos que los eventos B 1 , B 2 , B 3 … forman una partición del espacio de muestra S .
Esta ley establece lo siguiente:
La ley de la probabilidad total
Si B 1 , B 2 , B 3 … forman una partición del espacio muestral S , entonces podemos calcular la probabilidad del evento A como:
P ( A ) = ΣP ( A | B i ) * P ( B i )
La forma más sencilla de entender esta ley es con un ejemplo sencillo.
Supongamos que hay dos bolsas en una caja, que contienen las siguientes canicas:
- Bolsa 1: 7 canicas rojas y 3 canicas verdes
- Bolsa 2: 2 canicas rojas y 8 canicas verdes
Si seleccionamos al azar una de las bolsas y luego seleccionamos al azar una canica de esa bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que sea una canica verde?
En este ejemplo, sea P ( G ) = probabilidad de elegir una canica verde. Esta es la probabilidad que nos interesa, pero no podemos calcularla directamente.
En lugar de ello tenemos que utilizar la probabilidad condicional de G , dado algunos eventos B donde el B i forma ‘s una partición del espacio de muestra S . En este ejemplo, tenemos las siguientes probabilidades condicionales:
- P (G | B 1 ) = 3/10 = 0,3
- P (G | B 2 ) = 8/10 = 0,8
Por lo tanto, utilizando la ley de la probabilidad total, podemos calcular la probabilidad de elegir una canica verde como:
- P (G) = ΣP (G | B i ) * P (B i )
- P (G) = P (G | B 1 ) * P (B 1 ) + P (G | B 2 ) * P (B 2 )
- P (G) = (0,3) * (0,5) + (0,8) * (0,5)
- P (G) = 0,55
Si seleccionamos al azar una de las bolsas y luego seleccionamos al azar una canica de esa bolsa, la probabilidad de que elijamos una canica verde es 0.55 .
Lea los siguientes dos ejemplos para solidificar su comprensión de la ley de la probabilidad total.
Ejemplo 1: widgets
La empresa A suministra el 80% de los widgets para una tienda de automóviles y solo el 1% de sus widgets resultan defectuosos. La empresa B suministra el 20% restante de los widgets para la tienda de automóviles y el 3% de sus widgets resultan defectuosos.
Si un cliente compra al azar un widget en la tienda de automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?
Si dejamos P ( D ) = la probabilidad de que un widget sea defectuoso y P (B i ) sea la probabilidad de que el widget provenga de una de las empresas, entonces podemos calcular la probabilidad de comprar un widget defectuoso como:
- P (D) = ΣP (D | B i ) * P (B i )
- P (D) = P (D | B 1 ) * P (B 1 ) + P (D | B 2 ) * P (B 2 )
- P (D) = (0.01) * (0.80) + (0.03) * (0.20)
- P (D) = 0,014
Si compramos al azar un widget en esta tienda de autos, la probabilidad de que sea defectuoso es de 0.014 .
Ejemplo 2: Bosques
El bosque A ocupa el 50% de la tierra total en un cierto parque y el 20% de las plantas de este bosque son venenosas. El bosque B ocupa el 30% de la tierra total y el 40% de las plantas que contiene son venenosas. El bosque C ocupa el 20% restante de la tierra y el 70% de las plantas que contiene son venenosas.
Si entramos al azar en este parque y recogemos una planta del suelo, ¿cuál es la probabilidad de que sea venenosa?
Si dejamos P ( P ) = la probabilidad de que la planta sea venenosa, y P (B i ) sea la probabilidad de que hayamos entrado en uno de los tres bosques, entonces podemos calcular la probabilidad de que una planta elegida al azar sea venenosa como :
- P (P) = ΣP (P | B i ) * P (B i )
- P (P) = P (P | B 1 ) * P (B 1 ) + P (P | B 2 ) * P (B 2 ) + P (P | B 3 ) * P (B 3 )
- P (P) = (0,20) * (0,50) + (0,40) * (0,30) + (0,70) * (0,20)
- P (P) = 0,36
Si elegimos al azar una planta del suelo, la probabilidad de que sea venenosa es de 0,36 .
Recursos adicionales
Cómo encontrar la media de una distribución de probabilidad
Cómo encontrar la desviación estándar de una distribución de probabilidad Calculadora de distribución de
probabilidad
- https://r-project.org
- https://www.python.org/
- https://www.stata.com/
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