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Dados dos eventos, A y B, que significa “encontrar la probabilidad de que A y B” para encontrar la probabilidad de que el evento A y el evento B ocurren tanto .
Normalmente escribimos esta probabilidad de una de estas dos formas:
- P (A y B) – Forma escrita
- P (A∩B) – Forma de notación
La forma en que calculamos esta probabilidad depende de si los eventos A y B son independientes o dependientes.
Si A y B son independientes , entonces la fórmula que usamos para calcular P (A∩B) es simplemente:
Eventos independientes: P (A∩B) = P (A) * P (B)
Si A y B son dependientes , entonces la fórmula que usamos para calcular P (A∩B) es:
Eventos dependientes: P (A∩B) = P (A) * P (B | A)
Tenga en cuenta que P (B | A) es la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que ocurre el evento A.
Los siguientes ejemplos muestran cómo utilizar estas fórmulas en la práctica.
Ejemplos de P (A∩B) para eventos independientes
Los siguientes ejemplos muestran cómo calcular P (A∩B) cuando A y B son eventos independientes.
Ejemplo 1: La probabilidad de que su equipo de béisbol favorito gane la Serie Mundial es de 1/30 y la probabilidad de que su equipo de fútbol favorito gane el Super Bowl es de 1/32. ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos equipos favoritos ganen sus respectivos campeonatos?
Solución: En este ejemplo, la probabilidad de que ocurra cada evento es independiente del otro. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurran ambos se calcula como:
P (A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = .00104.
Ejemplo 2: Lanzas un dado y una moneda al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que los dados caigan en 4 y la moneda en cruz?
Solución: En este ejemplo, la probabilidad de que ocurra cada evento es independiente del otro. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurran ambos se calcula como:
P (A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = .083333.
Ejemplos de P (A∩B) para eventos dependientes
Los siguientes ejemplos muestran cómo calcular P (A∩B) cuando A y B son eventos dependientes.
Ejemplo 1: una urna contiene 4 bolas rojas y 4 bolas verdes. Elige al azar una bola de la urna. Luego, sin reemplazo, seleccionas otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que elija una bola roja cada vez?
Solución: En este ejemplo, el color de la bola que elegimos la primera vez afecta la probabilidad de elegir una bola roja la segunda vez. Por tanto, los dos eventos son dependientes.
Definamos el evento A como la probabilidad de seleccionar una bola roja la primera vez. Esta probabilidad es P (A) = 4/8. A continuación, tenemos que encontrar la probabilidad de volver a seleccionar una bola roja, dado que la primera bola era roja. En este caso, solo quedan 3 bolas rojas para elegir y solo 7 bolas en total en la urna. Por tanto, P (B | A) es 3/7.
Por lo tanto, la probabilidad de que seleccionemos una bola roja cada vez se calcularía como:
P (A∩B) = P (A) * P (B | A) = (4/8) * (3/7) = 0.214.
Ejemplo 2: En un aula determinada hay 15 niños y 12 niñas. Suponga que colocamos los nombres de cada estudiante en una bolsa. Elegimos al azar un nombre de la bolsa. Luego, sin reemplazo, elegimos otro nombre. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos nombres sean niños?
Solución: En este ejemplo, el nombre que elegimos la primera vez afecta la probabilidad de elegir un nombre de niño durante el segundo sorteo. Por tanto, los dos eventos son dependientes.
Definamos el evento A como la probabilidad de seleccionar a un niño por primera vez. Esta probabilidad es P (A) = 15/27. A continuación, tenemos que encontrar la probabilidad de volver a seleccionar a un niño, dado que el primer nombre era un niño. En este caso, solo quedan 14 niños para elegir y solo 26 nombres en total en la bolsa. Por tanto, P (B | A) es 14/26.
Por lo tanto, la probabilidad de que seleccionemos un nombre de niño cada vez se calcularía como:
P (A∩B) = P (A) * P (B | A) = (15/27) * (14/26) = 0.299.
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