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Actualizado el 17 de julio de 2024, por Luis Benites.
La propagación de errores ocurre cuando mide algunas cantidades a , b , c , … con incertidumbres δ a , δ b , δc … y luego desea calcular alguna otra cantidad Q usando las medidas de a , b , c , etc.
Resulta que las incertidumbres δ a , δ b , δc se propagarán (es decir, «se extenderán hasta») a la incertidumbre de Q.
Para calcular la incertidumbre de Q , denotada δ Q , podemos usar las siguientes fórmulas.
Nota: Para cada una de las fórmulas siguientes, se supone que las cantidades a , b , c , etc. tienen errores aleatorios y no correlacionados .
Suma o resta
Si Q = a + b +… + c – (x + y +… + z)
Entonces δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 +… + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 +… + (δz) 2
Ejemplo: suponga que mide la longitud de una persona desde el suelo hasta la cintura como 40 pulgadas ± .18 pulgadas. Luego, mide la longitud de una persona desde la cintura hasta la parte superior de la cabeza como 30 pulgadas ± .06 pulgadas.
Suponga que usa estas dos medidas para calcular la altura total de la persona. La altura se calcularía como 40 pulgadas + 30 pulgadas = 70 pulgadas. La incertidumbre en esta estimación se calcularía como:
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 +… + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 +… + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δ Q = 0,1897
Esto nos da una medida final de 70 ± 0,1897 pulgadas.
Multiplicación o división
Si Q = (ab… c) / (xy… z)
Entonces δ Q = | Q | * √ (δa / a) 2 + (δb / b) 2 +… + (δc / c) 2 + (δx / x) 2 + (δy / y) 2 +… + (δz / z) 2
Ejemplo: Supongamos que se desea medir la relación de la longitud del elemento de un ítem b . Se mide la longitud de un ser 20 pulgadas ± .34 pulgadas y la longitud de b a ser de 15 pulgadas ± .21 pulgadas.
La razón definida como Q = a / b se calcularía como 20/15 = 1.333 . La incertidumbre en esta estimación se calcularía como:
- δ Q = | Q | * √ (δa / a) 2 + (δb / b) 2 +… + (δc / c) 2 + (δx / x) 2 + (δy / y) 2 +… + (δz / z) 2
- δ Q = | 1,333 | * √ (.34 / 20) 2 + (.21 / 15) 2
- δ Q = 0.0294
Esto nos da una relación final de 1.333 ± 0.0294 pulgadas.
Cantidad medida multiplicada por el número exacto
Si A se conoce exactamente y Q = A x
Entonces δ Q = | A | δx
Ejemplo: suponga que mide el diámetro de un círculo como 5 metros ± 0,3 metros. Luego, usa este valor para calcular la circunferencia del círculo c = πd .
La circunferencia se calcularía como c = πd = π * 5 = 15,708 . La incertidumbre en esta estimación se calcularía como:
- δ Q = | A | δx
- δ Q = | π | * 0,3
- δ Q = 0,942
Por tanto, la circunferencia del círculo es de 15,708 ± 0,942 metros.
Incertidumbre en un poder
Si n es un número exacto y Q = x n
Entonces δ Q = | Q | * | n | * (δ x / x )
Ejemplo: Suponga que mide el lado de un cubo para que sea s = 2 pulgadas ± .02 pulgadas. Luego, usa este valor para calcular el volumen del cubo v = s 3 .
El volumen se calcularía como v = s 3 = 2 3 = 8 pulg. 3 . La incertidumbre en esta estimación se calcularía como:
- δ Q = | Q | * | n | * (δ x / x )
- δ Q = | 8 | * | 3 | * (.02 / 2)
- δ Q = 0,24
Por tanto, el volumen del cubo es de 8 ± 0,24 pulgadas 3 .
Fórmula general para la propagación de errores
Si Q = Q (x) es cualquier función de x, entonces la fórmula general para la propagación del error se puede definir como:
δ Q = | dQ / dX | δx
Tenga en cuenta que rara vez tendrá que derivar estas fórmulas desde cero, pero puede ser bueno conocer la fórmula general utilizada para derivarlas.
- https://r-project.org
- https://www.python.org/
- https://www.stata.com/
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