Media Armónica / Progresión: Definición, Ejemplos

Actualizado el 3 de noviembre de 2021, por Luis Benites.

Media
armónica Progresión armónica

¿Qué es la Media Armónica?

La media armónica es un tipo muy específico de promedio. Generalmente se usa cuando se trata de promedios de unidades, como velocidad u otras tasas y proporciones.

La fórmula es:
Si la fórmula anterior parece desalentadora, todo lo que necesita hacer para resolverla es:

• Suma los recíprocos de los números del conjunto.
• Divide el número de artículos en el conjunto por tu respuesta al Paso 1.

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Ejemplos

Mire el video o lea a continuación para ver algunos ejemplos:

Media aritmética | Media Geométrica | Significado armonico Mira este video en YouTube .
¿Cuál es la media armónica de 1, 5, 8, 10?

• Suma los recíprocos de los números del conjunto: 1/1 + 1/5 + 1/8 + 1/10 = 1,425
• Divide el número de artículos en el conjunto por tu respuesta al Paso 1. Hay 4 artículos en el conjunto, entonces:
  4 / 1.425 = 2.80702

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Diferencia entre la media armónica y la media aritmética

La diferencia entre los dos medios es un poco alucinante, así que si no entiendes el concepto al principio, no estás solo. Recuerdo haber tenido que leer la explicación varias veces y hacer algunos ejemplos en papel para asegurarme de que era correcta.

Aquí hay un ejemplo de un problema que involucra la media aritmética (la más común) :

• Joe conduce un automóvil a 20 mph durante la primera hora y a 30 mph durante la segunda. ¿Cuál es su velocidad media?
• La velocidad promedio es 20 + 30 / 2 = 25 mph.

Y ahora, el mismo ejemplo con la media armónica :

• Joe conduce un automóvil a 20 mph durante la mitad del viaje y a 30 mph durante la segunda mitad. ¿Cuál es su velocidad media?
• Para este problema, tenga en cuenta que se nos dice que fue a cierta velocidad en un segmento de viaje. Necesitamos la media armónica:
  • = 2/(1/20 + 1/30)
  • = 2(0,05 + 0,033)
  • = 2 / 0,083
  • = 24,09624 mph.

La diferencia entre estos dos es que el primer problema es calcular una velocidad promedio en función del tiempo , mientras que el segundo se basa en la distancia . Notarás que la media armónica es ligeramente menor que la media aritmética. Este es siempre el caso, que la media armónica será el promedio más bajo.

Progresión Armónica

Una progresión armónica es una secuencia de números donde cada término es la media armónica de los términos vecinos. Una “progresión” es simplemente una secuencia de números que sigue un patrón.

Una progresión armónica toma la forma:

En esta fórmula:

• a es distinto de cero y
• -a/d no puede ser un número natural .

Definición alternativa

También puedes hacer esta secuencia con recíprocos de una progresión aritmética (una progresión aritmética es una serie de números donde cada término sucesivo tiene una constante añadida). Más específicamente, si la siguiente secuencia es una progresión aritmética:
Entonces también es una progresión armónica, siempre que los números no sean cero.

Propiedades de la Progresión Armónica

Una propiedad interesante de la progresión armónica es que, a menos que a = 1 yk = 0, nunca puede sumar un número entero . La razón de esto es que al menos uno de los denominadores de la progresión será divisible por un número primo que no divide a ninguno de los otros denominadores.

Ejemplos de progresiones armónicas

Digamos que a y d son ambos ½. Entonces la progresión armónica será igual a:
12, 6, 4, 3, 12/5, 2…n.
El n -ésimo término siempre será 12/(1 + n).

Supongamos que a era 1/10 y d era – 2/30. Entonces los términos de la progresión serían:
10, 30, -30, -10, -6, -30/7…n.
El n -ésimo término siempre será 10/(1 – 2n/3).

El siguiente gráfico muestra parte de la progresión armónica donde a _n = 1 / n. Para esta serie, a y d son ambos 1. El primer término, 1/n, es 1, el segundo término es 1/(1 + 1) =2, y así sucesivamente.

A veces, esta progresión se conoce como «La» serie armónica .

Referencias

Joyce, D. Introducción a Series y Secuencias . Matemáticas 221 Cálculo. Publicado en la primavera de 2013. Obtenido de https://www2.clarku.edu/faculty/djoyce/ma121/seqser.pdf el 30 de marzo de 2019.
Zenth, Tommy «The Sum of the Harmonic Progression as an Integral». De Wolfram Demonstrations Project, publicado en línea el 7 de marzo de 2011. Recuperado de http://demonstrations.wolfram.com/TheSumOfTheHarmonicProgressionAsAnIntegral/ el 30 de marzo de 2019.