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Actualizado el 11 de noviembre de 2021, por Luis Benites.
¿Qué es un límite de cola?
Las colas de una variable aleatoria X son aquellas partes de la función de masa de probabilidad alejadas de la media [1]. A veces queremos crear límites de cola (o desigualdades de cola ) en el PMF, o limitar la probabilidad de que la variable aleatoria se desvíe mucho de la media. Por ejemplo, si el PMF representa un presupuesto, es posible que no queramos sobrepasar ese presupuesto por un factor de 3. O, si espero que 10,000 personas con préstamos estudiantiles estén en mora, podría querer saber la probabilidad de que un millón de prestatarios lo hagan. defecto.
Tipos de Tail Bound
Existen varias fórmulas para los límites de cola. Una forma de colocar un límite de cola es controlar los momentos de la variable aleatoria X.
La desigualdad de Markov es el límite de cola más simple y solo requiere la existencia del primer momento. Establece que, para una variable aleatoria no negativa X con media μ = ε X [2],
Pr(X ≥ k) ≤ μ/k.
Aunque simples, los límites que implica la desigualdad de Markov no suelen ser útiles porque son demasiado débiles.
El límite de Chebyshev es ligeramente más fuerte que la desigualdad de Markov. Se define para una variable aleatoria X con media μ = εX con desviación estándar σ = √(ε((X – μ) 2 )) para cualquier δ ≥ 1:
Pr(|X – μ ≥ δσ) ≤ δ -2 .
Uno de los límites de cola más complejos es el límite de Chernoff , que requiere que exista la función generadora de momentos. Para muchas variables aleatorias, este requisito no suele ser un problema porque el MGF existirá en una vecindad alrededor de 0 [3]. El límite de Chernoff tiene varias formas equivalentes. Una forma es para ensayos de Poisson X i con suma X = Σ i X i y media μ = εX, para cualquier δ > 0:
Referencias
Imagen PMF: Qwfp,
[1] Límites de cola. Recuperado el 28 de noviembre de 2021 de: https://courses.cs.washington.edu/courses/cse312/11au/slides/09tails.pdf
[2] Conferencia complementaria I: Límites de cola. Recuperado el 28 de noviembre de 2021 de: http://www.cs.cornell.edu/courses/cs681/2007fa/Handouts/tailBounds.pdf
[3] 36-705: Intermediate Statistics Fall 2019
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