Clase de equivalencia: Definición

Actualizado el 18 de octubre de 2022, por Luis Benites.

Una clase de equivalencia es el nombre que le damos al subconjunto de S que incluye todos los elementos que son equivalentes entre sí . “Equivalente” depende de una relación específica, llamada relación de equivalencia . Si existe una relación de equivalencia entre dos elementos cualesquiera, se denominan equivalentes.

Una clase de equivalencia simple podría definirse con un signo igual. podríamos decir

‘La clase de equivalencia de a consiste en el conjunto de todos los x, tal que x = a’.

En otras palabras, cualquier elemento del conjunto que sea igual pertenece a la clase de equivalencia definida. Este conjunto parece un conjunto bastante trivial, pero existen otras relaciones de equivalencia que hacen las cosas más interesantes. Veremos algunos de los más simples a continuación.

Propiedades de una clase de equivalencia

Representemos nuestra relación de equivalencia por ~ (realmente puede ser = o cualquier número de otras cosas). La relación ~ es una relación de equivalencia si y sólo si:

1. Es reflexivo : cualquier a en X debe ser siempre equivalente a sí mismo; podemos escribir esto como un ~ un
2. Es simétrico : supongamos que a, b están en X. Entonces, si a es equivalente a b, b también será equivalente a a. Podemos escribir esto como si a ~ b, b ~ a
3. Es transitiva : Sean a, b y c elementos de X. Entonces, si a es equivalente a b, y b es equivalente a c, a será también equivalente a c. Podemos escribir esto como: para a, b, c en X; si a ~ b y b ~ c se sigue que a ~ c

Una vez que hayamos verificado que nuestra relación ~ satisface las tres propiedades anteriores, podemos escribir la definición de una clase de equivalencia de un elemento como esta

Lea esto como «la clase de equivalencia de a consiste en el conjunto de todos los x en X tales que a y x están relacionados entre sí por ~».

Ejemplos de clases de equivalencia

Supongamos que X fuera el conjunto de todos los niños jugando en un parque infantil. Entonces, si ~ fuera una relación de equivalencia para ‘de la misma edad’, una clase de equivalencia sería el conjunto de todos los niños de 2 años y otra el conjunto de todos los niños de 5 años.

Si X fuera el conjunto de todos los polígonos, y la relación de equivalencia ~ se definiera como ‘con el mismo número de lados’, ejemplos de clases de equivalencia serían el conjunto de todos los triángulos, el conjunto de todos los cuadriláteros, el conjunto de todos los pentágonos, etc.,

Si X es el conjunto de todos los enteros, podemos definir la relación de equivalencia ~ diciendo ‘a ~ b si y solo si (a – b) es divisible por 9’. Entonces la clase de equivalencia de 4 incluiría -32, -23, -14, -5, 4, 13, 22 y 31 (y mucho más).

Referencias

Arnold, Jimmy. Una introducción a las pruebas matemáticas. Capítulo 5: Relaciones de equivalencia y Clases de equivalencia
Recuperado de http://www.math.vt.edu/people/elder/Math3034/book/3034Chap5.pdf el 18 de marzo de 2018

Watkins, Thayer. Equivalencia.
recuperado de http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/equivalence.htm el 18 de marzo de 2018