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Actualizado el 31 de mayo de 2022, por Luis Benites.
Es posible que desee leer este artículo primero: ¿Qué es la expectativa condicional?
¿Qué es una Martingala?
Una martingala es modelo de un juego limpio. Es una secuencia de variables aleatorias x 0 , x 1 , x 2 …x n con una propiedad importante: la expectativa condicional de x n+1 dada x 0 , x 1 , x 2 …x n siempre es solo x n .
En otras palabras, es una secuencia de variables aleatorias tal que para cualquier tiempo n:
mi(|X norte |) < ∞
mi(X norte + 1 | X 1 …, X norte ) = X norte .
Historia de las martingalas
La palabra martingala proviene de un grupo de estrategias de apuestas que fueron populares en Francia en el siglo XVIII. En un juego sencillo en el que un jugador gana si una moneda sale cara y pierde si sale cruz (p t = p h = 1/2, asumiendo que la moneda es justa), la estrategia de la martingala hacía que doblara su apuesta cada vez que perdía. A medida que continúa jugando, la probabilidad de sacar al menos una cara se acerca a 1 (a medida que el número de intentos se acerca al infinito), por lo que se consideró seguro de recuperar eventualmente todo lo que perdió más su apuesta original.
Dado que la cantidad apostada aumenta exponencialmente con este método y ningún jugador posee los fondos infinitos necesarios para asegurar el éxito, es bastante más arriesgado de lo que uno podría pensar.
En la teoría de la probabilidad, el concepto de martingalas fue iniciado por Paul Levy en 1934. El término fue utilizado por primera vez para el concepto estadístico por Jean Ville en 1939.
Ejemplos de martingalas
Un ejemplo simple de una martingala es una caminata aleatoria unidimensional , donde los pasos son igualmente probables en cualquier dirección. Aquí, para cada paso, p izquierda = p derecha = 1/2.
De hecho, un paseo aleatorio no sesgado en cualquier número de dimensiones es una martingala.
Bajo la teoría neutral unificada de la biodiversidad y la biogeografía, el conteo de especies para cualquier especie particular de tamaño fijo en una comunidad ecológica será una función de tiempo discreto. Podemos considerar esto como una secuencia de variables aleatorias, y la secuencia es una martingala.
Variantes de Martingalas
Una secuencia tal que
mi(|X norte |) < ∞
mi(X norte + 1 | X 1 …, X norte ) ≥ X norte .
se llama submartingala.
De manera similar, una sucesión tal que
mi(|X norte |) < ∞
mi(X norte + 1 | X 1 …, X norte ) ≤ X norte .
Se conoce como supermartingala.
Referencias
Doob, JL ¿Qué es una martingala?
El volumen mensual matemático estadounidense . 78, No. 5 (mayo de 1971), págs. 451-463. Recuperado de http://www.jstor.org/stable/2317751 el 21 de marzo de 2018
Williams, D. (1991). Probabilidad con Martingales . Prensa de la Universidad de Cambridge.
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