Introducción a la distribución binomial negativa

La distribución binomial negativa describe la probabilidad de experimentar una cierta cantidad de fracasos antes de experimentar una cierta cantidad de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli.

Un ensayo de Bernoulli es un experimento con solo dos resultados posibles: «éxito» o «fracaso», y la probabilidad de éxito es la misma cada vez que se realiza el experimento.

Un ejemplo de prueba de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda. La moneda solo puede caer en dos lados (podríamos llamar a la cara un «éxito» y a la cruz un «fracaso») y la probabilidad de éxito en cada lanzamiento es 0.5, asumiendo que la moneda es justa.

Si una variable aleatoria X sigue una distribución binomial negativa, entonces la probabilidad de experimentar k fallas antes de experimentar un total de r éxitos se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

P (X = k) = k + r-1 C k * (1-p) r * p k

dónde:

  • k: número de fallas
  • r: número de éxitos
  • p: probabilidad de éxito en una prueba determinada
  • k + r-1 C k : número de combinaciones de (k + r-1) cosas tomadas k a la vez

Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda y definimos un evento «exitoso» como aterrizar en cara. ¿Cuál es la probabilidad de experimentar 6 fracasos antes de experimentar un total de 4 éxitos?

Para responder a esto, podemos usar la distribución multinomial con los siguientes parámetros:

  • k: número de fallos = 6
  • r: número de éxitos = 4
  • p: probabilidad de éxito en una prueba determinada = 0,5

Reemplazando estos números en la fórmula, encontramos que la probabilidad es:

P (X = 6 fallas) = 6 + 4-1 C 6 * (1-.5) 4 * (. 5) 6 = (84) * (. 0625) * (. 015625) = 0.08203 .

Propiedades de la distribución binomial negativa

La distribución binomial negativa tiene las siguientes propiedades:

El número medio de fracasos que esperamos antes de lograr r éxitos es pr / (1-p) .

La varianza en el número de fracasos que esperamos antes de lograr r éxitos es pr / (1-p) 2 .

Por ejemplo, supongamos que lanzamos una moneda y definimos un evento «exitoso» como aterrizar en cara.

El número medio de fracasos (por ejemplo, aterrizar en cruz) que esperamos antes de lograr 4 éxitos sería pr / (1-p) = (.5 * 4) / (1-.5) = 4 .

La varianza en el número de fracasos que esperamos antes de lograr 4 éxitos sería pr / (1-p) 2 = (.5 * 4) / (1-.5) 2 = 8 .

Problemas prácticos de distribución binomial negativa

Utilice los siguientes problemas de práctica para evaluar su conocimiento de la distribución binomial negativa.

Nota: Usaremos la Calculadora de distribución binomial negativa para calcular las respuestas a estas preguntas.

Problema 1

Pregunta: Supongamos que lanzamos una moneda y definimos un evento «exitoso» como aterrizar en cara. ¿Cuál es la probabilidad de experimentar 3 fracasos antes de experimentar un total de 4 éxitos?

Respuesta: Usando la calculadora de distribución binomial negativa con k = 3 fallas, r = 4 éxitos yp = 0.5, encontramos que P (X = 3) = 0.15625 .

Problema 2

Pregunta: Supongamos que vamos de puerta en puerta vendiendo dulces. Consideramos un «éxito» si alguien compra una barra de chocolate. La probabilidad de que cualquier persona compre una barra de chocolate es 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de experimentar 8 fracasos antes de que experimentemos un total de 5 éxitos?

Respuesta: Usando la Calculadora de distribución binomial negativa con k = 8 fallas, r = 5 éxitos yp = 0.4, encontramos que P (X = 8) = 0.08514 .

Problema 3

Pregunta: Supongamos que lanzamos un dado y definimos una tirada «exitosa» como aterrizar en el número 5. La probabilidad de que el dado caiga en un 5 en cualquier tirada es 1/6 = 0.167. ¿Cuál es la probabilidad de experimentar 4 fracasos antes de que experimentemos un total de 3 éxitos?

Respuesta: Usando la calculadora de distribución binomial negativa con k = 4 fallas, r = 3 éxitos yp = 0.167, encontramos que P (X = 4) = 0.03364 .

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  • https://www.stata.com/

Redactor del artículo

  • Luis Benites
    Director de Statologos.com

    Tengo una Maestría en Ciencias en Estadística Aplicada y he trabajado en algoritmos de aprendizaje automático para empresas profesionales tanto en el sector de la salud como en el comercio minorista.

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