Introducción a la distribución exponencial

La distribución exponencial es una distribución de probabilidad que se usa para modelar el tiempo que debemos esperar hasta que ocurra cierto evento.

Esta distribución se puede utilizar para responder preguntas como:

• ¿Cuánto tiempo debe esperar el propietario de una tienda hasta que un cliente ingrese a su tienda?
• ¿Cuánto tiempo seguirá funcionando una computadora portátil antes de que se estropee?
• ¿Cuánto tiempo seguirá funcionando la batería de un automóvil antes de que se agote?
• ¿Cuánto tiempo debemos esperar hasta la próxima erupción volcánica en una determinada región?

En cada escenario, estamos interesados ​​en calcular cuánto tiempo tendremos que esperar hasta que ocurra un evento determinado. Por tanto, cada escenario podría modelarse utilizando una distribución exponencial.

Distribución exponencial: PDF y CDF

Si una variable aleatoria X sigue una distribución exponencial, entonces la función de densidad de probabilidad de X se puede escribir como:

f (x; λ) = λe ^-λx

dónde:

• λ: el parámetro de tasa (calculado como λ = 1 / μ)
• e: Una constante aproximadamente igual a 2.718

La función de distribución acumulativa de X se puede escribir como:

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

En la práctica, el CDF se usa con mayor frecuencia para calcular probabilidades relacionadas con la distribución exponencial.

Por ejemplo, suponga que el número medio de minutos entre erupciones para un determinado géiser es de 40 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos que esperar menos de 50 minutos para una erupción?

Para resolver esto, primero debemos calcular el parámetro de tasa:

• λ = 1 / μ
• λ = 1/40
• λ = .025

Podemos sustituir λ = .025 y x = 50 a la fórmula para el CDF:

• P (X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P (X ≤ 50) = 1 – e ^{-.025 (50)}
• P (X ≤ 50) = 0,7135

La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 50 minutos para la próxima erupción es 0,7135 .

Visualización de la distribución exponencial

La siguiente gráfica muestra la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X que sigue una distribución exponencial con diferentes parámetros de tasa:

Y la siguiente gráfica muestra la función de distribución acumulada de una variable aleatoria X que sigue una distribución exponencial con diferentes parámetros de tasa:

Nota: Consulte este tutorial para aprender a trazar una distribución exponencial en R.

Propiedades de la distribución exponencial

La distribución exponencial tiene las siguientes propiedades:

• Media: 1 / λ
• Varianza: 1 / λ ²

Por ejemplo, suponga que el número medio de minutos entre erupciones para un determinado géiser es de 40 minutos. Calcularíamos la tasa como λ = 1 / μ = 1/40 = .025.

Entonces podríamos calcular las siguientes propiedades para esta distribución:

• Tiempo medio de espera para la próxima erupción: 1 / λ = 1 /.025 = 40
• Varianza en los tiempos de espera para la próxima erupción: 1 / λ ² = 1 /.025 ² = 1600

Nota: La distribución exponencial también tiene una propiedad sin memoria , lo que significa que la probabilidad de que ocurra algún evento futuro no se ve afectada por la ocurrencia de eventos pasados.

Problemas prácticos de distribución exponencial

Utilice los siguientes problemas de práctica para probar su conocimiento de la distribución exponencial.

Pregunta 1: En promedio, un cliente nuevo ingresa a una tienda cada dos minutos. Después de que llega un cliente, calcule la probabilidad de que llegue un nuevo cliente en menos de un minuto.

Solución 1: el tiempo medio entre clientes es de dos minutos. Por lo tanto, la tasa se puede calcular como:

• λ = 1 / μ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

Podemos sustituir λ = 0.5 y x = 1 a la fórmula para el CDF:

• P (X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P (X ≤ 1) = 1 – e ^{-0,5 (1)}
• P (X ≤ 1) = 0,3935

La probabilidad de que tengamos que esperar menos de un minuto para que llegue el próximo cliente es de 0,3935 .

Pregunta 2: Un terremoto ocurre cada 400 días en una determinada región, en promedio. Después de que ocurre un terremoto, calcule la probabilidad de que se necesiten más de 500 días para que ocurra el próximo terremoto.

Solución 2: El tiempo promedio entre terremotos es de 400 días. Por lo tanto, la tasa se puede calcular como:

• λ = 1 / μ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

Podemos sustituir λ = 0.0025 yx = 500 a la fórmula para el CDF:

• P (X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P (X ≤ 1) = 1 – e ^{-0,0025 (500)}
• P (X ≤ 1) = 0,7135

La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 500 días para el próximo terremoto es 0,7135. Por tanto, la probabilidad de que tengamos que esperar más de 500 días para el próximo terremoto es 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Pregunta 3: Un centro de llamadas recibe una nueva llamada cada 10 minutos, en promedio. Después de que un cliente llama, calcule la probabilidad de que un nuevo cliente llame dentro de los 10 a 15 minutos.

Solución 3: el tiempo medio entre llamadas es de 10 minutos. Por lo tanto, la tasa se puede calcular como:

• λ = 1 / μ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Podemos usar la siguiente fórmula para calcular la probabilidad de que un nuevo cliente llame dentro de los 10 a 15 minutos:

• P (10 <X ≤ 15) = (1 – e ^{-0,1 (15)} ) – (1 – e ^{-0,1 (10)} )
• P (10 <X ≤ 15) = .7769 – .6321
• P (10 <X ≤ 15) = 0,1448

La probabilidad de que un nuevo cliente llame en un plazo de 10 a 15 minutos. es 0,1148 .

Recursos adicionales

Los siguientes tutoriales proporcionan introducciones a otras distribuciones de probabilidad comunes.

Introducción a la distribución normal
Introducción a la distribución binomial
Introducción a la distribución de Poisson
Introducción a la distribución uniforme

• https://r-project.org
• https://www.python.org/
• https://www.stata.com/