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La distribución geométrica describe la probabilidad de experimentar una cierta cantidad de fallas antes de experimentar el primer éxito en una serie de ensayos de Bernoulli.
Un ensayo de Bernoulli es un experimento con solo dos resultados posibles: «éxito» o «fracaso», y la probabilidad de éxito es la misma cada vez que se realiza el experimento.
Un ejemplo de prueba de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda. La moneda solo puede caer en dos lados (podríamos llamar a la cara un «éxito» y a la cruz un «fracaso») y la probabilidad de éxito en cada lanzamiento es 0.5, asumiendo que la moneda es justa.
Si una variable aleatoria X sigue una distribución geométrica, entonces la probabilidad de experimentar k fallas antes de experimentar el primer éxito se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:
P (X = k) = (1-p) k p
dónde:
- k: número de fallas antes del primer éxito
- p: probabilidad de éxito en cada prueba
Por ejemplo, supongamos que queremos saber cuántas veces tendremos que lanzar una moneda justa hasta que caiga cara. Podemos usar la fórmula anterior para determinar la probabilidad de experimentar 0, 1, 2, 3 fallas, etc. antes de que la moneda caiga en cara:
Nota: La moneda puede experimentar 0 «fallos» si cae cara en el primer lanzamiento.
P (X = 0) = (1-.5) 0 (.5) = 0.5
P (X = 1) = (1-.5) 1 (.5) = 0.25
P (X = 2) = (1-.5) 2 (.5) = 0.125
P (X = 3) = (1-.5) 3 (.5) = 0.0625
Podemos calcular la probabilidad de cualquier número de monedas lanzadas hasta el infinito. Creamos y luego creamos un histograma simple para visualizar esta distribución de probabilidad:
Calcular probabilidades geométricas acumuladas
La probabilidad acumulada de que experimentemos k fracasos o menos hasta el primer éxito se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:
P (X≤k) = 1 – (1-p) k + 1
dónde:
- k: número de fallas antes del primer éxito
- p: probabilidad de éxito en cada prueba
Por ejemplo, suponga que queremos saber la probabilidad de que se necesiten tres o menos «fracasos» hasta que la moneda finalmente caiga cara. Usaríamos la siguiente fórmula para calcular esta probabilidad:
P (X≤3) = 1 – (1-.5) 3 + 1 = 0,9375
Podemos calcular cada probabilidad acumulada usando una fórmula similar:
P (X≤0) = 1 – (1-.5) 0 + 1 = 0.5
P (X≤1) = 1 – (1-.5) 1 + 1 = 0,75
P (X≤2) = 1 – (1-.5) 2 + 1 = 0,875
Podemos calcular estas probabilidades acumulativas para cualquier número de monedas lanzadas hasta el infinito. Luego podemos crear un histograma para visualizar esta distribución de probabilidad acumulativa:
Propiedades de la distribución geométrica
La distribución geométrica tiene las siguientes propiedades:
La media de la distribución es (1-p) / p .
La varianza de la distribución es (1-p) / p 2 .
Por ejemplo:
El número medio de veces que esperaríamos que una moneda cayera en cruz antes de que cayera en cara sería (1-p) / p = (1-.5) / .5 = 1 .
La variación en el número de lanzamientos hasta que aterriza en cara sería (1-p) / p 2 = (1-.5) / .5 2 = 2 .
Problemas de práctica de distribución geométrica
Utilice los siguientes problemas de práctica para evaluar su conocimiento de la distribución geométrica.
Nota: Usaremos la Calculadora de distribución geométrica para calcular las respuestas a estas preguntas.
Problema 1
Pregunta: Un investigador está esperando fuera de una biblioteca para preguntarle a la gente si apoya una determinada ley. La probabilidad de que una persona determinada apoye la ley es p = 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta persona con la que habla el investigador sea la primera en apoyar la ley?
Respuesta: La cantidad de «fallas» hasta el primer éxito, es decir, la cantidad de personas que no apoyan la ley hasta que la primera persona la respalda, es 3. Por lo tanto, usando la Calculadora de distribución geométrica con p = 0.2 yx = 3 fallas, encontramos que P (X = 3) = 0.10240 .
Problema 2
Pregunta: Un investigador está esperando fuera de una biblioteca para preguntarle a la gente si apoya una determinada ley. La probabilidad de que una persona determinada apoye la ley es p = 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de que el investigador tenga que hablar con más de cuatro personas para encontrar a alguien que apoye la ley?
Respuesta: Usando la Calculadora de distribución geométrica con p = 0.2 yx = 4 fallas, encontramos que P (X> 4) = 0.32768 .
Problema 3
Pregunta: Un investigador está esperando fuera de una biblioteca para preguntarle a la gente si apoya una determinada ley. La probabilidad de que una persona determinada apoye la ley es p = 0,2. ¿Cuál es el número esperado de personas con las que la investigadora tendrá que hablar hasta que encuentre a alguien que apoye la ley?
Respuesta: Recuerde que la media de la distribución geométrica es (1-p) / p . En esta situación, la media sería (1-.2) / .2 = 4 .
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