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Actualizado el 26 de diciembre de 2021, por Luis Benites.
La distribución de Gompertz-Makeham (también llamada distribución de Makeham ) es una distribución de probabilidad continua utilizada en los seguros para modelar la vida de los adultos. La distribución, utilizada para crear tablas actuariales, se basa en leyes analíticas de mortalidad desarrolladas por Benjamin Gompertz y William Makeham . El artículo de Gompertz de 1825, donde planteó la hipótesis de que la probabilidad de morir aumenta en progresión geométrica , marcó una “época en la historia de la ciencia actuarial” [1].
La distribución de Gompertz-Makeham es la base de la ley de mortalidad de Gompertz-Makeham , que establece que la tasa de mortalidad de los seres humanos se puede calcular con dos componentes: uno dependiente de la edad y otro independiente de la edad.
PDF de la Distribución Gompertz-Makeham
La función de densidad de probabilidad es:
El pdf de Gompertz-Makeham puede adoptar una variedad de formas. Imagen:NIST.
La distribución se define en el intervalo [0, ∞] y puede adoptar una amplia variedad de formas: la PDF puede ser unimodal o, en algunos casos, decrecer monótonamente con una singularidad cuando x tiende a cero. La distribución también puede ser de cola gruesa (disminuye algebraicamente) o de cola delgada (disminuye exponencialmente), dependiendo de los parámetros [2]:
- γ = parámetro de forma .
- δ = parámetro de fragilidad.
Tenga en cuenta que la «fragilidad» aquí no se refiere a individuos, sino a poblaciones . Más específicamente, es una variable estadística univariada no observable Z que describe una relación con la “fuerza de la mortalidad” [3].
La distribución de Gompertz es un caso especial de la distribución de Gompertz-Makeham cuando γ = 0 [4].
Función de Gompertz
La función de Gompertz , el componente básico de la distribución de Gompertz-Makeham, así como de muchas otras distribuciones de vida [5], se expresa como:
R m = R 0 e at ,
Donde:
- R m = tasa de mortalidad,
- a y R 0 = constantes,
- t = parámetro de tiempo.
Referencias
Imagen: NIST. Recuperado el 15 de noviembre de 2021 de: https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/makpdf.htm
[1] Henderson, A. (1968). Métodos actuariales para la estimación de parámetros de moralidad de la propiedad industrial .
[2] Distribución de GompertzMakeham. Recuperado el 15 de noviembre de 2021 de: https://reference.wolfram.com/language/ref/GompertzMakehamDistribution.html
[3] Butt, Z. & Haberman, S. Application of Frailty-Based Mortality Models using Generalized Linear Models .
[4] Lemis. Teorema. Recuperado el 15 de noviembre de 2021 de: http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/MakehamGompertz.pdf
[5] [Gompertz, 1825] citado en Norström, F. The Gompertz-Makeham distribution. Recuperado el 15 de noviembre de 2021 de: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.1068.8330&rep=rep1&type=pdf
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