Distribución Estable: Definición Básica

Actualizado por ultima vez el 18 de octubre de 2022, por Luis Benites.

¿Qué es la Distribución Estable?

Las distribuciones estables son una familia general de distribuciones de probabilidades que comparten ciertas propiedades. Fueron descritos por primera vez por Paul Lévy (1925) y, por lo tanto, a veces también se denominan informalmente distribuciones de Lévy . Sin embargo, esto puede causar confusión ya que una Distribución Lévy ” es en realidad un miembro específico de la familia de Distribución Estable.

La mayoría de estas distribuciones no tienen una función de densidad de probabilidad distinta , con la excepción de la distribución de Cauchy, la distribución de Lévy y la distribución normal, pero comparten ciertas propiedades, como la asimetría y las colas pesadas.

Propiedades de las Distribuciones Estables

distribución estable

La distribución de Cauchy. Imagen: Skbkekas | Wikimedia Commons.

La distribución estable general tiene cuatro parámetros (Barndorff-Nielsen et. al):

  • Índice de estabilidad : α ∈ (0,2). Este parámetro determina la probabilidad en las colas extremas (es decir, te dice algo sobre la altura de las colas). Una distribución normal tiene α = 2. Las distribuciones por debajo de ese número (es decir, con 0 < α ≤ 2) tendrán una mayor cola. La distribución de Cauchy tiene α = 1.
  • Parámetro de asimetría : β. Si β = 0, entonces la distribución es una distribución simétrica . Una distribución normal tiene β = 0.
  • Parámetro de escala : γ. Una medida de dispersión . Para la distribución normal, γ = la mitad de la varianza de la población . Para otras distribuciones simétricas en la familia, una sugerencia es excluir el 28% superior e inferior de las observaciones (Fama y Roll).
  • Parámetro de ubicación : δ. Este parámetro es igual a la mediana . Cuando α > 1, también es igual a la media . Para una distribución normal, la media de la muestra se puede utilizar como una estimación de δ. Para otras distribuciones, puede ser necesario descartar los valores extremos para obtener una buena estimación de δ. Dependiendo de qué tan pesadas sean las colas, es posible que deba excluir el primer y el último cuartil , utilizando solo la mitad central de las observaciones.

Una de las características matemáticas más importantes de las distribuciones estables es que las distribuciones conservan el mismo α y β bajo convolución de variables aleatorias (un término de cálculo que describe lo que sucede cuando dos funciones f y g se combinan para formar una tercera función).

Ventajas y desventajas para el uso práctico

Una propiedad muy útil de las distribuciones estables es que son escalables (hasta cierto factor): una pequeña parte de la distribución se parece al todo.

Un gran inconveniente del uso de distribuciones estables es que cualquier momento mayor que α no está definido . Eso significa que, en general, cualquier teoría basada en la varianza (el segundo momento) no es útil. Sin embargo, a veces es posible modificar las distribuciones (por ejemplo, truncar las colas). Esto requiere que tenga una buena comprensión de la distribución particular con la que está tratando, así como de la disciplina de la que se extrajeron sus datos en primer lugar. Por ejemplo, Paul y Baschnagel describen cómo se puede usar una distribución de Lévy para modelar un latido cardíaco humano si las colas están truncadas, pero solo sabría truncar las colas si fuera consciente de que las desviaciones en los latidos del corazón no pueden ser arbitrariamente grandes.

Referencias:
Fama, EF y Roll, R. (1968). Algunas propiedades de las distribuciones estables simétricas.
Paul Levy (1925). Calul des probabilidades.
Ole E. Barndorff-Nielsen, ‎Thomas Mikosch, ‎Sidney I. Resnick (2001). Procesos de Lévy: teoría y aplicaciones
Jitendar S. Mann, Richard G. Heifner, Estados Unidos. Departamento de Agricultura. Servicio de Estudios Económicos. La distribución de los movimientos de precios de las materias primas a corto plazo, Números 1535-1538. Departamento de Agricultura de EE. UU., Servicio de Investigación Económica, 1976 – Negocios y Economía – 68 páginas. Libro electrónico gratuito.
Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel. Procesos estocásticos: de la física a las finanzas.

Tengo una Maestría en Ciencias en Estadística Aplicada y he trabajado en algoritmos de aprendizaje automático para empresas profesionales tanto en el sector de la salud como en el comercio minorista.

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