Actualizado por ultima vez el 15 de agosto de 2021, por Luis Benites.
¿Qué es una distribución de Cauchy?
La distribución de Cauchy , a veces llamada distribución de Lorentz , es una familia de distribuciones probables continuas que se asemejan a la familia de curvas de distribución normal . Si bien el parecido está ahí, tiene un pico más alto que el normal. Y a diferencia de la distribución normal, sus colas gordas se descomponen mucho más lentamente.
La distribución de Cauchy es bien conocida por el hecho de que su valor esperado y otros momentos no existen. La mediana y la moda existen . Y para los Cauchy, son iguales. Juntos, te dicen dónde está la línea de simetría . Sin embargo, el teorema del límite central no funciona para la distribución límite de la media . En resumen, esta distribución se comporta de manera tan anormal que a veces se la considera el Hannibal Lecter de las distribuciones.
- “Es más conocido como un caso patológico” (Segura et. al, 2004).
- Es “quizás más curioso que útil” (Marshall, 2007).
Usos
Entonces, si no funciona tan bien, ¿por qué estudiarlo? Si bien a menudo se usa como un ejemplo de lo «opuesto» de cómo deberían funcionar las distribuciones, tiene algunas aplicaciones prácticas. Por ejemplo:
- Es una distribución popular para estudios de robustez .
- Modela la razón de dos variables aleatorias normales .
- Modela líquidos polares y no polares en vidrios porosos (Stapf et. al, 1996)
- En mecánica cuántica, modela la distribución de energía de un estado inestable (Grewel & Andrews, 2015).
Definición de la distribución
La distribución de Cauchy tiene dos partes principales: un parámetro de escala (λ) y un parámetro de ubicación (x 0 ).
- El parámetro de ubicación (x 0 ) nos dice dónde está el pico.
- El parámetro de escala es la mitad del ancho del PDF a la mitad de la altura máxima.
En otras palabras, el parámetro de ubicación x 0 desplaza el gráfico a lo largo del eje x y el parámetro de escala λ da como resultado un gráfico más corto o más alto. Cuanto menor sea el parámetro de escala , más alta y delgada será la curva. En la imagen de abajo, el valor más pequeño para lambda (0.5) da el gráfico más alto y más delgado, que se muestra en naranja.
La distribución estándar de Cauchy (que se muestra en púrpura en el gráfico anterior) tiene un parámetro de ubicación de 0 y un parámetro de escala de 1; la notación para la distribución estándar es X ~ Cauchy(1,0) o más simplemente, C(1,0).
En μ y σ
A veces, es posible que vea el μ más reconocible (es decir, la media) en lugar de (x 0 ). Sin embargo, como técnicamente no existe la media, es mejor evitar la notación μ debido a la posible confusión. Si usa μ, debe considerarlo como el medio de la curva (en lugar del promedio). Lambda es aproximadamente igual a la desviación estándar , σ. Pero como la desviación estándar tampoco existe para esta distribución, es posible que desee evitar usar σ también.
Valor esperado
Si existiera el valor esperado , sería igual a la media , que es cero. Sin embargo, la media en un Cauchy no existe (tampoco existen momentos superiores como la desviación estándar y la asimetría ). Entonces el valor esperado tampoco existe.
El cálculo puede probar estas propiedades. Básicamente, ∫x r f(x)d(x) no convergen en valor absoluto. Por lo tanto, no hay momentos.
Puedes encontrar una interpretación diferente aquí .
Función PDF
La fórmula para la función de densidad de probabilidad es:
Esta calculadora en línea en Casio.com calculará el PDF así como el CDF superior e inferior para una distribución de Cauchy.
Referencias :
Grewel y Andrews (2015). Filtrado Kalman . John Wiley & Sons.
Krishnamoorthy (2006). Manual de Distribuciones Estadísticas con Aplicaciones . Prensa CRC.
Marshall y Olkin (2007). Distribuciones de vida . Springer Ciencia y Negocios.
Segura et. al (2004). Una guía de leyes y teoremas con nombres de economistas. Editorial Edward Elgar.
Stapf et. al (1996). Ciclos de campo de protones y deuterones. Coloides y superficies: aspectos fisicoquímicos y de ingeniería 115, 107-114.