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Actualizado el 11 de agosto de 2021, por Luis Benites.
Una matriz idempotente es aquella que, al multiplicarse por sí misma, no cambia. Si una matriz A es idempotente, A 2 = A.
Ejemplos de matriz idempotente
Los ejemplos más simples de matrices idempotentes nxn son la matriz identidad I n y la matriz nula (donde cada entrada en la matriz es 0).
Los ejemplos no triviales de matrices de 2 x 2 son relativamente fáciles de encontrar ( ¿Necesita ayuda? ¡ Consulte nuestra página de tutoría !). Como A 2 = A, sabemos que para una matriz 
,
a = a 2 + bc
b = ab + bd, entonces b – ab – bd = 0 y b(1 – a – d) = 0 y b = 0 o d = 1 – a
c = ca + cd, entonces c – ca – cd = 0 y c(1 – a – d) = 0 y c = 0 o d = 1 – a
d = bc + d 2 .
Para crear su propia matriz idempotente, comience eligiendo cualquier valor de a. Por ejemplo, elijamos 3. Haga d = 1 – a, o -2. Ahora -2 = bc + 4, por nuestra última ecuación anterior, entonces -6 = bc. Como revisión rápida, vea que esto se ajusta a nuestra primera ecuación, a = 3 = a 2 + bc = 9 – 6.
Podemos elegir cualquier valor de b y c que se ajuste a bc = -6, para que sea más fácil para nosotros y apegarnos a los números enteros; b = -2 y c = 3. Entonces la matriz
es idempotente.
Puede crear un conjunto similar de reglas de álgebra para encontrar matrices idempotentes en cualquier tamaño nxn ; cuanto más grande se vuelve la matriz, más pegajosa puede volverse el álgebra, pero el método sigue siendo el mismo.
Propiedades de Matrices Idempotentes
Excepto por la matriz identidad (I), toda matriz idempotente es singular . Lo que esto significa es que es una matriz cuadrada, cuyo determinante es 0.
Dado
que [I – M] [I – M] = I – M – M + M 2 = I – M – M + M = I – M,
la matriz identidad menos cualquier otra matriz idempotente también es una matriz idempotente.
La matriz idempotente en estadística
Las matrices idempotentes son importantes en el análisis de regresión y la teoría de modelos estadísticos lineales, especialmente en lo que se refiere al análisis de varianza y la teoría de mínimos cuadrados .
Referencias
Harville DA (1997) Matrices idempotentes. En: Álgebra matricial desde la perspectiva de un estadístico .
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