Variables aleatorias independientes: definición, ejemplos

Actualizado el 23 de septiembre de 2021, por Luis Benites.

Es posible que desee leer este artículo primero: ¿Qué es una variable aleatoria?

¿Qué son las variables aleatorias independientes?

Una variable aleatoria independiente es una variable aleatoria que no tiene ningún efecto sobre las otras variables aleatorias de su experimento. En otras palabras, no afecta la probabilidad de que ocurra otro evento. Por ejemplo, supongamos que desea saber el peso promedio de una bolsa de azúcar, por lo que toma una muestra aleatoria de 50 bolsas de varias tiendas de comestibles. No esperaría que el peso de una bolsa afectara a otra, por lo que las variables son independientes. Lo contrario es una variable aleatoria dependiente , que afecta las probabilidades de otras variables aleatorias.

Otra forma de verlo

Conocer el valor de X, una variable aleatoria independiente, no nos ayuda a predecir el valor de Y y viceversa.

Una variable aleatoria es una variable asociada con un experimento , como n lanzamientos de una moneda o d sorteos de cartas. Desde un punto de vista (más técnico), dos variables aleatorias son independientes si alguna de las siguientes afirmaciones es verdadera :

1. P(x|y) = P(x), para todos los valores de X e Y.
2. P(x∩y) = P(x) * P(y), para todos los valores de X e Y.

Los dos son equivalentes.

La primera afirmación, P(x|y) = P(x), para todos los valores de X e Y, establece “la probabilidad de x, dada y, es x”. En otras palabras, saber y no debería hacer ninguna diferencia en la probabilidad, x, seguirá siendo x sin importar el valor de y.

Puede reconocer la segunda declaración como el principio fundamental de conteo , que establece que si tiene dos eventos independientes , multiplique sus probabilidades juntas. Por ejemplo, supongamos que sus posibilidades de ganar un premio en el bingo son 1/1000 y sus posibilidades de encontrar un lugar para estacionar justo al lado de la sala de bingo son 1/20. Tus probabilidades de encontrar un lugar para estacionar al lado de la sala de bingo y ganar en el bingo son 1/1000 * 1/20 = 1/20,000.

Cómo saber si las variables aleatorias son independientes

1. La explicación intuitiva

Puedes saber si dos variables aleatorias son independientes observando sus probabilidades individuales. Si esas probabilidades no cambian cuando los eventos se encuentran, entonces esas variables son independientes. Otra forma de decir esto es que si las dos variables están correlacionadas , entonces no son independientes .

Como un ejemplo simple , digamos que tiene dos variables aleatorias X e Y. X puede ser igual a 0, 1 o 2 e Y puede ser igual a 0 o 1. Primero, echemos un vistazo a sus probabilidades:

• La probabilidad de que X = 0 sea del 20%: O, más formalmente, P(X = 1) = 0,2.
• La probabilidad de que X = 1 sea del 30 %: P(X = 3) = 0,3.
• La probabilidad de que X = 2 sea del 50 %: P(X = 5) = 0,5.

• La probabilidad de que Y sea 0 es del 40 %: P(Y = 0) = 0,4.
• La probabilidad de que Y sea 1 es del 60%: P(Y = 1) = 0,6

Pero, ¿qué sucede con las probabilidades cuando las dos suceden al mismo tiempo?

Para cada combinación posible de X, dado que Y ha ocurrido (en notación, eso es (X|Y)), las probabilidades son:

• P(x = 0 | y = 0) = 0,2;
• P(x = 1 | y = 0) = 0,3;
• P(x = 2 | y = 0) = 0,5;
• P(x = 0 | y = 1) = 0,2;
• P(x = 1 | y = 1) = 0,3;
• P(x = 2 | y = 1) = 0,5;

Los valores cambiantes de y no tienen efecto sobre las probabilidades de x. Suponiendo que lo contrario también es cierto (que cambiar los valores de x no tendría ningún efecto sobre los valores de y), estas son variables aleatorias independientes.

2. La definición más formal (variables discretas)

Los eventos independientes se definen como aquellos que cumplen la siguiente condición:

• P(x|y) = P(x), para todos los valores de X e Y.

Las variables aleatorias independientes que también son variables discretas se pueden describir de manera similar:

• P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y), para todos los valores de x e y.

Extendiendo esto a un conjunto de n variables aleatorias discretas, podemos decir:

• P(X ₁ = x ₁ , X ₂ = x ₂ , …, X _n = x _n ) = P(X ₁ = x ₁ ) P(X ₁ = x ₁ )…P(X ₁ = x ₁ ), para todos los valores de x (x ₁ , x ₂ , …, X _n ).