¿Qué son las variables aleatorias?

Una variable aleatoria , típicamente denotada como X, es una variable cuyos posibles valores son resultados de un proceso aleatorio. Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas.

Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria discreta es una variable que puede tomar solo un número contable de valores distintos como 0, 1, 2, 3, 4, 5… 100, 1 millón, etc. Algunos ejemplos de variables aleatorias discretas incluyen:

  • El número de veces que una moneda cae en cruz después de haber sido lanzada 20 veces.
  • La cantidad de veces que un dado cae en el número 4 después de haber sido lanzado 100 veces.
  • La cantidad de widgets defectuosos en una caja de 50 widgets.

Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta nos dice la probabilidad de que la variable aleatoria tome ciertos valores.

Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado justo una vez. Si dejamos que X denote la probabilidad de que el dado caiga en un cierto número, entonces la distribución de probabilidad se puede escribir como:

  • P (X = 1): 1/6
  • P (X = 2): 1/6
  • P (X = 3): 1/6
  • P (X = 4): 1/6
  • P (X = 5): 1/6
  • P (X = 6): 1/6

Nota:

Para que una distribución de probabilidad sea válida, debe satisfacer los dos criterios siguientes:

1. La probabilidad de cada resultado debe estar entre 0 y 1.

2. La suma de todas las probabilidades debe sumar 1.

Observe que la distribución de probabilidad de la tirada del dado satisface estos dos criterios:

1. La probabilidad de cada resultado está entre 0 y 1.

2. La suma de todas las probabilidades suma 1.

Podemos usar un histograma para visualizar la distribución de probabilidad:

PDF para una variable aleatoria discreta

Una distribución de probabilidad acumulada para una variable aleatoria discreta nos dice la probabilidad de que la variable tome un valor igual o menor que algún valor.

Por ejemplo, la distribución de probabilidad acumulada para una tirada de dado se vería así:

  • P (X≤1): 1/6
  • P (X≤2): 2/6
  • P (X≤3): 3/6
  • P (X≤4): 4/6
  • P (X≤5): 5/6
  • P (X≤6): 6/6

La probabilidad de que el dado caiga en uno o menos es simplemente 1/6, ya que no puede caer en un número menor que uno.

La probabilidad de que caiga en dos o menos es P (X = 1) + P (X = 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6.

De manera similar, la probabilidad de que aterrice en un tres o menos es P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6, y así.

También podemos usar un histograma para visualizar la distribución de probabilidad acumulada:

CDF para una variable aleatoria discreta

Variables aleatorias continuas

Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar un número infinito de valores posibles. Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen:

  • Peso de un animal
  • Altura de una persona
  • Tiempo necesario para correr un maratón

Por ejemplo, la altura de una persona podría ser 60,2 pulgadas, 65,2344 pulgadas, 70,431222 pulgadas, etc. Hay una cantidad infinita de valores posibles para la altura.

Regla de oro:

Si puede contar el número de resultados, entonces está trabajando con una variable aleatoria discreta, por ejemplo, contando el número de veces que una moneda cae en cara.

Pero si puede medir el resultado, está trabajando con una variable aleatoria continua, por ejemplo, midiendo la altura, el peso, el tiempo, etc.

Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua nos dice la probabilidad de que la variable aleatoria tome ciertos valores. Sin embargo, a diferencia de una distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas, una distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua solo puede usarse para decirnos la probabilidad de que la variable adopte un rango de valores.

Por ejemplo, suponga que queremos saber la probabilidad de que una hamburguesa de un restaurante en particular pese un cuarto de libra (0,25 libras). Dado que el peso es una variable continua, puede tomar una cantidad infinita de valores.

Por ejemplo, una hamburguesa determinada podría pesar en realidad 0.250001 libras, o 0.24 libras o 0.2488 libras. La probabilidad de que una hamburguesa determinada pese exactamente 0,25 libras es esencialmente cero.

Por lo tanto, solo podríamos usar una distribución de probabilidad para decirnos la probabilidad de que una hamburguesa pese menos de 0.25 lbs, más de 0.25 lbs o entre algún rango (por ejemplo, entre 0.23 lbs y 0.27 lbs).

  • https://r-project.org
  • https://www.python.org/
  • https://www.stata.com/

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