Distribución Lognormal: Definición, Ejemplos

Actualizado por ultima vez el 27 de febrero de 2022, por Luis Benites.

Es posible que desee leer este artículo primero: ¿Qué es un logaritmo?

¿Qué es una distribución lognormal?

Una distribución lognormal (log-normal o Galton) es una distribución de probabilidad con un logaritmo distribuido normalmente. Una variable aleatoria se distribuye lognormalmente si su logaritmo se distribuye normalmente.

Las distribuciones sesgadas con valores medios bajos, gran varianza y valores totalmente positivos a menudo se ajustan a este tipo de distribución. Los valores deben ser positivos ya que log(x) existe solo para valores positivos de x.

La función de densidad de probabilidad se define por la media μ y la desviación estándar , σ:
distribución lognormal pdf3

La forma de la distribución lognormal está definida por tres parámetros:

  • σ, el parámetro de forma . También la desviación estándar para el lognormal, esto afecta la forma general de la distribución. Por lo general, estos parámetros se conocen a partir de datos históricos. A veces, es posible que pueda estimarlo con datos actuales. El parámetro de forma no cambia la ubicación o la altura del gráfico; solo afecta la forma general.
  • m, el parámetro de escala (también es la mediana). Este parámetro reduce o estira el gráfico.
  • Θ (o μ), el parámetro de ubicación , que le indica dónde se encuentra el gráfico en el eje x.

La distribución lognormal estándar tiene un parámetro de ubicación de 0 y un parámetro de escala de 1 (que se muestra en azul en la imagen a continuación). Si Θ = 0, la distribución se denomina distribución lognormal de 2 parámetros.

función de distribución lognormal

Algunos ejemplos de funciones de densidad lognormales. Imagen: Por Krishnavedala|Wikimedia Commons

¿Cuándo se utilizan las distribuciones lognormales?

La distribución más utilizada (y la más familiar) en ciencia es la distribución normal . La conocida “ curva de campana ” modela muchos fenómenos naturales, desde los más simples (pesos o alturas) hasta los más complejos. Por ejemplo, el siguiente fenómeno se puede modelar con una distribución lognormal:

  • Producción de leche por vacas.
  • Vidas de unidades industriales con modos de falla que se caracterizan por fatiga-esfuerzo.
  • Cantidades de lluvia.
  • Distribuciones de tamaño de las gotas de lluvia.
  • El volumen de gas en una reserva de petróleo.

Se pueden modelar muchos más fenómenos con la distribución lognormal, como la duración de los períodos latentes de enfermedades infecciosas o la abundancia de especies 1 .

Otros nombres para el lognormal

Históricamente, la distribución lognormal ha recibido muchos nombres, entre ellos:

  • La distribución de Galton o Galton (después del estadístico victoriano Francis Galton).
  • Distribución de Galton-McAlister (McAlister fue otro estadístico victoriano que publicó una descripción de la distribución con Galton).
  • Distribución de Gibrat , en honor al economista francés del siglo XX que demostró que los logaritmos de ciertas variables económicas (como la distribución de fábricas por número de trabajadores) seguían una distribución normal.
  • Distribución Cobb-Douglas (después de los economistas del siglo XX Charles Cobb y Paul Douglas). Este término se usa exclusivamente en economía, donde se aplica a los datos de producción.

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Referencias:

Aitchison, J. y Brown, JAC La distribución lognormal, con especial referencia a su uso en economía . Nueva York: Cambridge University Press, 1957.
Balakrishnan, N. y Chen, WWS Handbook of Tables for Order Statistics from Lognormal Distributions with Applications. Ámsterdam, Países Bajos: Kluwer, 1999.
Crow, EL y Shimizu, K. (Ed.). Distribuciones Lognormales: Teoría y Aplicaciones. Nueva York: Dekker, 1988.
Limpert et al. Distribuciones logarítmicas normales en las ciencias: claves y pistas.

Tengo una Maestría en Ciencias en Estadística Aplicada y he trabajado en algoritmos de aprendizaje automático para empresas profesionales tanto en el sector de la salud como en el comercio minorista.

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