Actualizado por ultima vez el 15 de marzo de 2022, por Luis Benites.
¿Qué es la Distribución Wishart?
La distribución de Wishart es una de las distribuciones más complicadas en estadística, en parte porque hay muchas formas de definirla. En primer lugar, la definición más sencilla: es la contrapartida multivariante de una distribución chi-cuadrado cuando los grados de libertad no son números enteros . Para grados de libertad enteros, es la contraparte multivariada de la distribución gamma .
En estadística inferencial , la distribución de Wishart también se define como la distribución de la matriz de covarianza de la muestra . La matriz de covarianza se crea a partir de una muestra aleatoria extraída de una distribución normal multivariada . Por lo general, se denota como W p (Σ, n) donde Σ es la matriz de covarianza y n es el número de grados de libertad.
Kollo y Von Rosen (2005) definen el Wishart en términos de una distribución matricial:
Se dice que la matriz W : pxp es una distribución de Wishart si y solo si W = XX’ para alguna matriz X, donde X ~ N p,n (M,Σ,I), y Σ es definida positiva. Si M = 0, la distribución es un Wishart central (W ~ W p (Σ,n)); si M ≠ 0, la distribución es no central (W p (Σ,n,Δ)), donde Δ = MM’)
.
Usos
Uno de los principales usos de la distribución de Wishart es aproximar una matriz de covarianza, siempre que la distribución subyacente sea normal . Además, muchas sumas de cuadrados y matrices de productos diferentes también tienen distribuciones de Wishart.
La función de densidad de probabilidad (PDF) para la distribución de Wishart es compleja y no existe a menos que el tamaño de la muestra sea mayor que el número de variables en el modelo (Abell et. al).
La fórmula para el PDF es: Donde:
- n = grados de libertad,
- |X| = determinante de la matriz
- Γ p ( ) es la función gamma multivariante .
Referencias:
Abell et. Alabama. Estadística con Mathematica.
Kollo, T. y Von Rosen, D. (2005). Estadística Multivariante Avanzada con Matrices . Springer, Dordrecht.
