Número natural: definición y ejemplos

Actualizado el 12 de febrero de 2022, por Luis Benites.

¿Qué es un número natural?

Los números naturales son números que usamos para contar. Son números enteros, no negativos . A menudo los vemos representados en una recta numérica . 

La línea en la imagen de arriba comienza en 1 y aumenta su valor a 5. Sin embargo, los números podrían aumentar su valor para siempre (indicado por la línea de puntos en la imagen). Los números naturales, por lo tanto, pueden continuar hasta el infinito .

Un conjunto de números naturales normalmente se denota con el símbolo ℕ . Por ejemplo:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

¿Qué son los números enteros?

El conjunto de números naturales que incluye el cero se conoce como números enteros . Un conjunto de números enteros normalmente se denota por W . Por ejemplo, el siguiente es un conjunto de números enteros:

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Quizás de manera confusa, algunos autores no incluyen el cero en el conjunto de números enteros. En ese caso, es lo mismo que el conjunto de los números naturales.

¿Por qué un número natural es un número entero?

Como se mencionó anteriormente, los números naturales deben ser enteros y positivos. Esto tiene sentido por varias razones, incluido el hecho de que son números de conteo. Digamos que una maestra quiere contar el número de estudiantes en su clase: solo puede contar a los niños completos. 

A menudo vemos en las estadísticas publicadas en Internet números que parecen contradecir la «integridad» de las personas. Por ejemplo, “el tamaño promedio de una familia es 3.1”. Debería quedar bastante claro que es imposible tener 0,1 de una persona, pero este número es solo un promedio. El número promedio de automóviles por hogar se calcula sumando el número total de automóviles y dividiendo por el número de hogares. Una vez que dividimos ya no estamos trabajando con números naturales. Más bien, nos quedamos con un número real, en este caso una fracción.

La suma o producto de números naturales también son números naturales. Por ejemplo, 5 + 5 = 10 (los tres son naturales), o 10 · 15 = 150.

Asimismo, no tiene sentido en el mundo físico de los números “naturales” decir que tenemos “algo negativo”. Más bien, decimos que tenemos cero de algo donde no lo hay. Usando nuestro ejemplo de maestro de arriba, si el maestro actualmente no tiene estudiantes en su clase, tiene cero estudiantes; No tiene ningún sentido en el mundo real tener estudiantes negativos.

El conjunto completo de números enteros es igual al conjunto de enteros no negativos. Los números enteros son como los números enteros, excepto que también pueden ser negativos o cero. Por ejemplo: -10, -3, 0, 1 5.
Artículo relacionado: Secuencias enteras (CalculusHowTo.com).

Ejemplo de números enteros

Algunos ejemplos de números enteros: 3, 15, 998, 2, 232, 589.

Todos los siguientes no son números enteros:

• Decimales : 0.1, 5.23, 15.999, 1.7 ² .
• Fracciones : ½, 1/27, 2 ½, 99/100.
• Números negativos: -10, -99, -521.

Conjuntos cerrados y enteros

En la teoría de conjuntos, los números enteros siguen algunas reglas. El conjunto de números enteros es:
Cerrado bajo suma y multiplicación. Toma dos números enteros a y b. Si sumas entonces (a + b = c), entonces «c» también será un número entero. Lo mismo es cierto para la multiplicación: a · b = d.

Echemos un vistazo a un par de ejemplos específicos con números en lugar de variables:

• 6 + 7 = 13
• 6 · 7 = 42

El conjunto de números enteros no está cerrado para la división y la resta. Si a es un número entero, entonces hay otro número entero b que resulta en una solución de número no entero. En notación, eso es:

• a-b = c
• a / b = re

Donde “b”, “c” y “d” no son números enteros.

Ejemplos :

1. Resta:
   6 y 10 son números enteros,
   pero 7 – 9 = -2, que no es un número entero.
2. División :
   4 y 5 son números enteros, pero 4/5 no es un número entero.

Propiedades de los números enteros

• Los números enteros son conmutativos para la suma y la multiplicación. No puedes restar dos números enteros en ningún orden y obtener el mismo resultado.
  En notación: Para cada a, b en el conjunto de números enteros, a + b = b + a y a · b = b a.
  Ejemplo : 10 – 1 no es lo mismo que 1 – 10.
• Los números enteros son asociativos para la suma y la multiplicación. El orden de adición no es importante (se pueden agrupar en diferentes órdenes).
  Para cada a, b y c en el conjunto de números enteros, a(b·c) = (a·b) · c y (a + b) + c = a + (b + c).
• El conjunto de números enteros incluye una identidad aditiva (0). El cero es la identidad aditiva de los números enteros. En notación, a + 0 = a para todo número entero a.
• La identidad multiplicativa es 1. Multiplica cualquier número entero por 1 y obtienes el mismo resultado. En notación, 1 · a = a.

Número natural: Referencias

Extendiendo los Números Naturales a los Enteros