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Actualizado el 29 de abril de 2022, por Luis Benites.
El conjunto vacío (∅) no tiene miembros. Este marcador de posición es equivalente al papel de «cero» en cualquier sistema numérico.
Ejemplos de conjuntos vacíos incluyen:
- El conjunto de los números reales x tales que x 2 + 5,
- El número de perros sentados en el PSAT.
También podemos definirlo como “el conjunto de todos los objetos que no son iguales a sí mismos”, porque no hay objetos que no sean iguales a sí mismos (Hersh, 1997). Esto puede ser un desafío para entenderlo, pero imagina un objeto. Para este ejemplo, digamos que es un caniche rosado. ¿Hay caniches rosados que no sean caniches rosados? Obviamente no. La cosa en sí no existe (un caniche rosa que no es un caniche rosa), pero sí la idea , al igual que existe la idea del “cero”.
¿Cuál es el propósito del conjunto vacío?
Aunque el conjunto vacío no tiene ningún propósito práctico en la «vida real», es extremadamente importante en la teoría de números porque los números naturales se forman a partir del conjunto vacío. En otras palabras, sin él, los números naturales no podrían existir matemáticamente. Los bloques de construcción de los números naturales son:
- El conjunto vacío (sin miembros)
- El conjunto que contiene el conjunto vacío (un miembro). Este conjunto tiene una cardinalidad de 1.
Una caja de regalo vacía (izquierda) no contiene nada (es decir, representa un conjunto vacío). La caja de la izquierda contiene una caja de regalo vacía, por lo que no está vacía.
Si tiene problemas para entender esto, imagine una caja de regalo sin ningún regalo. Esta caja vacía es análoga al conjunto vacío, porque no hay nada en ella. Pero si coloca esa caja dentro de otra caja, ha creado un conjunto no vacío con un miembro: la caja de regalo vacía original. Puede continuar colocando cuadros dentro de cuadros para crear el sistema de números naturales, aunque haya comenzado sin nada.
Propiedades del Conjunto Vacío
Para cualquier conjunto X:
- Unión : X ∪ ∅ = X
- Intersección : X ∩ ∅ ; Si dos conjuntos X e Y son disjuntos, entonces X ∩ Y = ∅
Además, si X es un subconjunto de Y entonces X Y = ∅.
Referencias
Grinshpan, A. (2020). El Conjunto Vacío. Recuperado el 22 de octubre de 2020 de: https://www.math.drexel.edu/~tolya/emptyset.pdf
Hersh, R. (1997). ¿Qué son las matemáticas, realmente? Prensa de la Universidad de Oxford.
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