Actualizado por ultima vez el 13 de noviembre de 2021, por Luis Benites.
Un Equilibrio de Nash en la teoría de juegos es una colección de estrategias , una para cada jugador en un juego social, donde no hay beneficio para ningún jugador al cambiar de estrategia . En esta situación, todos los jugadores del juego están satisfechos con sus elecciones de juego al mismo tiempo, por lo que el juego permanece en equilibrio. Siguiendo esto, donde el mundo natural se rige por las leyes de la física, el mundo social se rige por el equilibrio de Nash. El concepto lleva el nombre del matemático estadounidense John Nash, quien ganó el Premio Nobel de Ciencias Económicas en 1994 por su trabajo sobre la teoría de juegos.
En cualquier equilibrio, todos los lados están en un estado de no cambio. Por ejemplo, en un equilibrio químico , las cantidades de sustancias químicas no cambian. Cuando se alcanza el equilibrio en un juego, cualquier «elemento» que haya en el juego también se encuentra en un estado de no cambio, ya que todos los jugadores han alcanzado puntos individuales de máximo beneficio. Después de esto, cuando hay un equilibrio mutuo, no hay ningún incentivo para que ninguno de los jugadores del juego cambie de estrategia. Siempre que todos los jugadores estén satisfechos con su lugar en el juego y su estrategia. Las cantidades involucradas permanecen estables mientras ninguno de los otros jugadores cambie de estrategia.
Para modelar cualquier situación social, funciona así:
- Identifica una situación social para la que quieras encontrar un equilibrio.
- Idea un juego con x jugadores que se comporte de la misma manera que la situación social.
- Encuentre el punto de equilibrio para el juego (todos los juegos tienen uno), y luego aplíquelo a la situación social.
Todo juego de varios jugadores tiene un punto de equilibrio de Nash siempre que el número de jugadores no sea infinito. Es importante darse cuenta de que el equilibrio de Nash solo describe un punto de equilibrio mutuo. No predice cómo se comportará la gente . Tampoco corresponde a los resultados que son más eficientes. De hecho, pueden existir resultados alternativos que sean igualmente factibles y preferidos por todos los jugadores en el juego (Sethi, 2008).
Ejemplo simple #1: El mapa arrugado
Mapa arrugado de Roma. Martijn van Exel | CC de Flickr
Siegfried (2006) ofrece un ejemplo simple que bordea las densas matemáticas requeridas para comprender la demostración del juego. Tome un mapa (cualquier mapa servirá, pero digamos que tiene un mapa de Roma). Coloque el papel arrugado en cualquier lugar de Roma y habrá un punto en el mapa que coincida con la ubicación exacta en el mapa arrugado.
Ejemplo simple #2: El dilema del prisionero
En el mundo real, las personas no siempre alcanzan ese punto de beneficio mutuo. Porque el dilema del prisionero es un famoso ejemplo de por qué dos individuos completamente “racionales” no logran alcanzar un punto de equilibrio. Esto es incluso si parece que lo mejor para ellos es hacerlo. A continuación, el dilema del prisionero se trata de dos cómplices (llamémoslos Reggie y Ronnie) que son atrapados por un crimen. La policía tiene suficiente evidencia para condenarlo por un cargo menor, digamos que es homicidio involuntario. Pero la policía sabe (pero no puede probar) que la pareja cometió un asesinato.
Tienen una opción: confesar o permanecer en silencio.
- Digamos que si uno confiesa y el otro permanece en silencio, el que confiesa es dejado ir, mientras que el otro es condenado por asesinato.
- O si ambos confiesan, ambos cumplen condena por el cargo menor.
- Si ambos permanecen en silencio, ambos cumplirán condena por el cargo menor.
El dilema al que se enfrenta cada uno de los presos es obviamente: ¿cuál es la mejor opción? Pero olvidando los argumentos filosóficos aquí de cuál es «mejor» (puede leerlos en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford si está interesado). Después de esto, el equilibrio de Nash está en el punto en el que ni Ronnie ni Reggie se beneficiarán del cambio de estrategia. Si se callan, quedan en el dilema, ya que hay beneficio en confesar. Pero si ambos confiesan, entonces no hay ningún beneficio en cambiar de estrategia (guardar silencio de nuevo), por lo que el punto de equilibrio para el Dilema del Prisionero es que ambos prisioneros confiesan.
Definicion formal
Formalmente, el equilibrio de Nash se define en términos de un juego de n jugadores donde:
- i = {1,…, n } jugadores,
- S i = el conjunto de estrategias del jugador i ∈ I
- g i = el conjunto de funciones meta S 1 x…x S n → ℝ.
Funciones de pago:
(También llamadas funciones objetivo ) son las preferencias del i -ésimo jugador sobre las estrategias elegidas por todos los jugadores (llamadas perfiles de estrategia o n -tuplas). Si un jugador prefiere un perfil de estrategia en particular a otro, entonces ese perfil de estrategia tiene un valor de función de objetivo o pago más alto .
Ahora supongamos que:
- S = el conjunto de perfiles de estrategia 1 X … XS n con el elemento genérico s ,
- (t i , s_ i ) = el perfil de estrategia (s 1 ,…,s i -1 , t i , s i + 1 ,…s n ) del elemento genérico s por el jugador i cambiando de estrategia a t i ∈ S i mientras todas las demás estrategias permanecen sin cambios.
El punto de equilibrio es donde s * ∈ S, para cada jugador i y cada estrategia t i ∈ S i :
Referencias:
Nash, John F. 1950. Equilibrium Points in N-Person Games. Actas de la Academia Nacional de Ciencias 36 (1): 48–49
Sethi, R. (2008). Equilibrio de Nash. En Enciclopedia Internacional de las Ciencias Sociales, 2do. ed.
Sethi y Weibull (2016) ¿Qué es… el equilibrio de Nash? Notices of the AMS, Vol 63, Número 5. Recuperado el 29 de agosto de 2017 de: http://www.ams.org/journals/notices/201605/201605FULLISSUE.pdf ( edición completa en pdf )
Siegfried, T. (2006). Una bella matemática: John Nash, la teoría de juegos y la búsqueda moderna de un código de la naturaleza. National Academies Press, 21 de septiembre de 2006
Von Neumann, John y Oskar Morgenstern. 1944. Teoría de Juegos y Comportamiento Económico. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.
