Actualizado por ultima vez el 17 de diciembre de 2021, por Luis Benites.
Un estadístico completo T “… es un estadístico completo si la familia de densidades de probabilidad {g(t; θ) es completa” (Voinov & Nikulin, 1996, p. 51).
El concepto quizás se entienda mejor en términos del teorema de Lehmann-Scheffé “…si una estadística suficiente es limitadamente completa, es mínimamente suficiente. Lo contrario es falso” (Cox & Hinkley, p. 31). Boundledly complete significa que no tiene valores medios no informativos (es decir, aquellos que no dependen de T). En otras palabras, ninguna función no trivial de T tiene un valor medio constante.
El problema con una estadística completa
Muchas definiciones en estadística son intuitivas, pero desafortunadamente «estadística completa» no es una de ellas. Tome la primera definición dada arriba. Esto plantea un par de problemas (quizás obvios):
- La definición incluye la palabra “completa”,
- La definición no brinda ninguna información para determinar si una estadística en particular está completa o no.
Entonces, la definición de una estadística completa es algo engañosa y debería reflejar con mayor precisión el hecho de que la completitud indica que una familia de distribuciones , para todos los valores posibles de θ, proporciona un conjunto suficientemente rico de vectores (Cremling, nd).
Definición formal de estadística completa
Una estadística completa se define formalmente como:
Supongamos que una estadística T ( Y ) tiene una fdp o pmf f ( t | θ ). Entonces T ( Y ) es un estadístico completo si E θ [g( T ( Y ))] = 0 para todo θ ∈ Θ implica que P θ[g(T(Y)) = 0] = 1 para todo θ ∈ Θ (Oliva, 2014).
Estadística completa suficiente
Es posible que una estadística completa no proporcione ninguna información sobre θ. Para que las estadísticas completas sean útiles, también deben ser una estadística suficiente ; Una estadística suficiente resume toda la información de una muestra sobre un parámetro elegido . Idealmente entonces, una estadística idealmente debería ser completa y suficiente , lo que significa que:
- A la estadística no le falta ninguna información sobre θ y
- No proporciona ninguna información irrelevante (Shynk, 2012).
Específicamente, una estadística completa es aquella que es mínima suficiente .
Artículo relacionado: Secuencia completa (CalculusHowTo.com).
Referencias
Cox, D. y Hinkley, D. (1979). Estadística Teórica 1ª Edición . Chapman y Hall/CRC.
Cremling, D. Completitud y suficiencia. Recuperado el 19 de mayo de 2020 de: https://math.ou.edu/~cremling/teaching/lecturenotes/stat/ln5.pdf
Olive, D. (2014). Teoría Estadística e Inferencia . Saltador.
Shynk, J. (2012). Probabilidad, variables aleatorias y procesos aleatorios: teoría y aplicaciones de procesamiento de señales. Wiley.
