Actualizado por ultima vez el 23 de diciembre de 2021, por Luis Benites.
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¿Qué es una función de probabilidad?
Muchas distribuciones de probabilidad tienen parámetros desconocidos; Estimamos estas incógnitas utilizando datos de muestra. La función de probabilidad nos da una idea de qué tan bien los datos resumen estos parámetros.
Los «parámetros» aquí son los parámetros para una función de distribución de probabilidad (PDF). En otras palabras, son los componentes básicos de un PDF, o lo que necesita para la parametrización .
Ejemplo sencillo
Supongamos que está interesado en crear un PDF que represente las probabilidades binomiales de obtener cara (o cruz) en un solo lanzamiento de moneda. Vas a estimar la probabilidad de obtener cara de tus datos, así que ejecutas un experimento.
Si obtiene dos caras seguidas, su función de probabilidad para la probabilidad de que una moneda caiga cara arriba se verá así:
si lanza una vez más y obtiene cruz (haciendo HHT), su función cambia para verse así:
Aunque una función de probabilidad puede parecerse a un PDF, es fundamentalmente diferente. Un PDF es una función de x, su punto de datos, y le dirá qué tan probable es que aparezcan ciertos puntos de datos. Una función de probabilidad, por otro lado, toma el conjunto de datos como un dato y representa la probabilidad de diferentes parámetros para su distribución.
Definición de funciones de probabilidad en términos de funciones de densidad de probabilidad
Suponga que la función de densidad de probabilidad conjunta de su muestra
X = (X 1 ,…X 2 ) es f(x| θ), donde θ es un parámetro. X = x es un punto de muestra observado. Entonces la función de θ definida como
L(θ |x) = f(x |θ)
es su función de probabilidad.
Aquí ciertamente parece que solo estamos tomando nuestro PDF y volviéndolo a etiquetar inteligentemente como una función de probabilidad. La realidad, sin embargo, es bastante diferente. Para su PDF, pensó en θ como una constante y se centró en una x en constante cambio. En la función de verosimilitud, deja que un punto de muestra x sea una constante e imagina que θ varía en todo el rango de posibles valores de parámetros.
Si comparamos dos puntos en nuestra función de densidad de probabilidad, estaremos viendo dos valores diferentes de x y examinando cuál tiene más probabilidad de ocurrir. Pero para la función de probabilidad, comparamos dos puntos de parámetros diferentes. Por ejemplo, si encontramos que L(θ 1 | x) > L(θ 2 | x), sabemos que es más probable que nuestro punto observado x haya sido observado bajo las condiciones del parámetro θ = θ 1 en lugar de θ = θ 2 .
Propiedades de las probabilidades
A diferencia de las funciones de densidad de probabilidad, las probabilidades no están normalizadas. El área bajo sus curvas no tiene que sumar 1.
De hecho, solo podemos definir una función de verosimilitud hasta una constante de proporcionalidad. Lo que eso significa es que, en lugar de ser una función, la probabilidad es una clase de equivalencia de funciones.
Uso de probabilidades
Las probabilidades son una parte clave de la inferencia bayesiana. También usamos probabilidades para generar estimadores ; casi siempre queremos el estimador de máxima verosimilitud.
Referencias
Robinson, E. (2016). Introducción a la estadística de probabilidad. Recuperado el 23 de diciembre de 2017 de:
https://hea-www.harvard.edu/AstroStat/aas227_2016/lecture1_Robinson.pdf
Wasserman, L. (nd). Lecture Notes 6 1 The Likelihood Function – CMU Statistics
Obtenido el 23 de diciembre de 2017 de: http://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture6.pdf
Zhang, K. (2011). Principios de Reducción de Datos. En Temas Especiales de Teoría Estadística.
Recuperado el 23 de diciembre de 2017 de: http://www.math.ntu.edu.tw/~hchen/teaching/StatInference/notes/ch6.pdf
