T-cuadrado de Hotelling: definición simple

Actualizado el 20 de agosto de 2021, por Luis Benites.

La T-cuadrada de Hotelling (Hotelling, 1931) es la contraparte multivariante de la prueba T. “Multivariado” significa que tiene datos para más de un parámetro para cada muestra . Por ejemplo, supongamos que desea comparar qué tan bien se desempeñaron en la escuela dos conjuntos diferentes de estudiantes. Puede comparar datos univariados (p. ej., puntuaciones medias de pruebas) con una prueba t . O bien, puede utilizar el T-cuadrado de Hotelling para comparar datos multivariados (p. ej., la media multivariada de las puntuaciones de las pruebas, el GPA y las calificaciones de clase).

La T-Cuadrada de Hotelling se basa en la distribución T ^{2 de Hotelling y constituye la base de varios} gráficos de control multivariante .

Versiones de prueba

Existen dos versiones de la prueba con las siguientes hipótesis nulas :

• Una muestra : el vector multivariado de medias para un grupo es igual a un vector hipotético de medias.
• Dos muestras : el vector multivariado de medias para dos grupos son iguales.

Para más de dos muestras, una opción es ejecutar un MANOVA .

T-cuadrado de Hotelling de dos muestras

Si sabe cómo ejecutar una prueba t de dos muestras , entonces sabe cómo ejecutar una T cuadrada de Hotelling de dos muestras. Los pasos básicos son los mismos, aunque usará una fórmula diferente para calcular el valor t-cuadrado y usará una tabla diferente (la tabla F ) para encontrar el valor crítico .

La T-cuadrada de Hotelling tiene varias ventajas sobre la prueba t (Fang, 2017):

• La tasa de error Tipo I está bien controlada,
• Se tiene en cuenta la relación entre múltiples variables,
• Puede generar una conclusión general incluso si varias pruebas t (únicas) son inconsistentes. Mientras que una prueba t le dirá qué variable difiere entre grupos, la de Hotelling resume las diferencias entre grupos.

Las hipótesis de prueba son:

• Hipótesis nula (H ₀ ): las dos muestras proceden de poblaciones con la misma media multivariante.
• Hipótesis alternativa (H ₁ ): las dos muestras son de poblaciones con diferentes medias multivariadas.

Tres suposiciones principales son que las muestras:

• …tienen distribuciones normales subyacentes .
• …son independientes .
• …tener matrices de varianza-covarianza iguales (solo para la prueba de dos muestras). Ejecute la prueba de Bartlett para verificar esta suposición.

La T de Hotelling se puede transformar en un estadístico F.

Al igual que la prueba t, querrá encontrar un valor para T (en este caso, para T-cuadrado) y compararlo con un valor de tabla; si el valor calculado es mayor que el estadístico de la tabla, puede rechazar la hipótesis nula . Para facilitar este cálculo, primero se transforma la t ^{2 de Hotelling en un} estadístico F : Donde :

• N ₁ y N ₂ = tamaños de muestra,
• p = número de variables medidas,
• norte ₁ + norte ₂ – pag – 1 = grados de libertad .

Rechazar la hipótesis nula (a un nivel de significancia elegido ) si el valor calculado es mayor que el valor crítico de la tabla F. Rechazar la hipótesis nula significa que al menos uno de los parámetros, o una combinación de uno o más parámetros trabajando juntos, es significativamente diferente .

Referencias:
Colmillo, J. (2017). Manual de Estadísticas Médicas .
Hotelling H (1931) La generalización de la relación de Student . Estadísticas de matemáticas de Ann. 2(3):360–378.