Actualizado por ultima vez el 7 de agosto de 2021, por Luis Benites.
Es posible que desee leer este artículo primero: ¿Qué es una estadística suficiente?
¿Qué es el Teorema de Rao-Blackwell?
El teorema de Rao-Blackwell (a veces llamado teorema de Rao-Blackwell-Kolmogorov o Rao-Blackwellization ) es una forma de mejorar la eficiencia de los estimadores iniciales. Los estimadores son variables aleatorias observables que se utilizan para estimar cantidades. Por ejemplo, la media muestral (observable) es un estimador de la media poblacional (desconocida) .
Más formalmente, el teorema se define de la siguiente manera (de Sahai & Ojeda):
Supongamos que g(X) es un estimador insesgado de una función escalar paramétrica h(θ) y T i (X), i = 1,2,…,p, son conjuntamente suficientes para (θ); entonces existe un estimador u(T), dependiendo de los datos sólo a través de los estadísticos suficientes, tal que E[u(T)] = h(θ) y Var[u(T)] ≤ Var[g(X)] .
Para obtener una demostración del teorema, lea Intuition, Lemmas and Start of Proof del Prof. Charles Elkan.
Nota: Aunque Rao-Blackwellization puede mejorar un estimador, no siempre produce un estimador insesgado de varianza mínima uniforme.
Suficiencia
La mejora en la eficiencia se obtiene tomando la expectativa condicional de la estadística con respecto a una estadística suficiente (suponiendo que exista). Una estadística suficiente es una estadística que resume toda la información de una muestra sobre un parámetro elegido . En otras palabras, una estadística es «suficiente» si conserva toda la información sobre la población que estaba contenida en los puntos de datos originales. Según el estadístico Ronald Fisher, “…ninguna otra estadística que pueda calcularse a partir de la misma muestra proporciona información adicional sobre el valor del parámetro”.
Rice (2006) afirma que la idea básica es que “…si un estimador no es una función de un estadístico suficiente, se puede mejorar”. La estadística mejorada es óptima según cualquier medida, incluido el criterio de error cuadrático medio o cualquier otro estándar.
Aplicaciones
La teoría de Rao-Blackwell tiene muchas aplicaciones, incluida la estimación del error de predicción y la producción de estimaciones a partir de datos de encuestas de muestra. Por ejemplo, las observaciones en el muestreo adaptativo se encuentran en secuencia; cada nueva observación depende de una o más características de observaciones anteriores. También se pueden encontrar estimadores mejorados tomando un promedio de estimadores sobre cada orden posible .
Referencias
Elkan, C. Teorema de Rao-Blackwell: intuición, lemas y comienzo de la prueba. Recuperado el 5 de julio de 2017 de: http://cseweb.ucsd.edu/~elkan/291winter2005/lect04.pdf
Fisher, RA (1922). “Sobre los fundamentos matemáticos de la estadística teórica”. Transacciones filosóficas de la Royal Society A 222: 309–368.
Juan Arroz (2006). Estadística Matemática y Análisis de Datos, Página 3
Hardeo Sahai, Mario M. Ojeda. Análisis de varianza para modelos aleatorios, volumen 2: datos no balanceados.
