Actualizado por ultima vez el 15 de junio de 2022, por Luis Benites.
¿Qué es una prueba uniformemente más poderosa?
Una prueba Uniformly Most Powerful (UMP) tiene la mayor potencia estadística del conjunto de todas las posibles hipótesis alternativas del mismo tamaño α . El UMP no siempre existe, especialmente cuando la prueba tiene variables molestas (variables que son irrelevantes para su estudio pero que deben tenerse en cuenta). Sin embargo, si existe el UMP , puede utilizar el lema de Neyman-Pearson (NPL) para encontrarlo.
Una prueba de UMP generalmente se define en términos de una región de rechazo uniformemente más poderosa (UMPCR) (también llamada «región crítica»); Una región C de tamaño α es el UMPCR para probar una hipótesis nula simple contra un conjunto de hipótesis alternativas si es la «mejor» región crítica. La «mejor» región crítica es aquella que minimiza la probabilidad de cometer un error Tipo I o Tipo II . En otras palabras, el UMPCR es la región que ofrece la menor posibilidad de cometer un error de tipo I o II . También es la región que le da a una prueba de UMP la función de potencia más grande (o igualmente más grande) .
UMP y el lema de Neyman-Pearson
El lema de Neyman-Pearson puede indicarle la mejor prueba de hipótesis si tiene una hipótesis nula simple y una hipótesis alternativa simple. Si tiene varias hipótesis (también denominadas hipótesis compuestas ), la NPL puede extenderse a todas las hipótesis alternativas individuales. Las hipótesis compuestas tienen múltiples opciones de solución. Por ejemplo, H 0 :σ 2 > 8 es una hipótesis compuesta porque no especifica un valor para σ 2 ; La solución podría ser cualquier cosa por encima de 8. Esto contrasta con H 0 : μ = 0, que especifica el valor único de cero.
La idea básica es que pruebe cada hipótesis simple por turno para ver si es la UMP de todas las posibilidades.
Definiciones usando UMP y razón de verosimilitud
Casella y Berger (2002) definen una prueba de UMP de la siguiente manera:
“Sea C una clase de pruebas para probar H 0 : θ ∈ Θ 0 versus H 1 : θ ∈ Θ c 1 . Una prueba en clase C, con función de potencia β(θ), es una prueba de clase C uniformemente más poderosa (UMP) si β(θ) ≥ β′(θ) para cada θ ∈ Θ 0 c y cada β′(θ) esa es una función de potencia de una prueba en la clase C.
En términos más simples, esto realmente solo le dice que la prueba UMP es la que tiene la función de potencia más grande (de todas las pruebas del mismo tamaño α). Θ 0 es el conjunto de todos los valores posibles para θ bajo la hipótesis nula.
La misma declaración se puede reescribir usando la prueba de razón de verosimilitud . Digamos que tienes dos hipótesis simples H 0 : θ = θ 0 y H 1 :θ= θ 1 . Para encontrar la prueba más poderosa en un cierto nivel alfa (con umbral η), buscaría la prueba de razón de verosimilitud que rechaza la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa cuando donde .
Si tiene un conjunto completo de posibilidades (que sería el caso de las hipótesis compuestas ), cada prueba debe probarse individualmente utilizando los criterios anteriores.
Referencias
Kotz, S.; et al., editores. (2006), Enciclopedia de Ciencias Estadísticas , Wiley.
Everitt, BS; Skrondal, A. (2010), The Cambridge Dictionary of Statistics , Cambridge University Press.
