Aditividad contable

Actualizado por ultima vez el 25 de octubre de 2021, por Luis Benites.

El axioma de aditividad contable establece que la probabilidad de una unión de una colección finita (o colección infinita numerable) de eventos disjuntos * es la suma de sus probabilidades individuales.

En otras palabras, dada una secuencia infinita de eventos disjuntos A 1 , A 2 , A 3 , … entonces su probabilidad total es:
P(A 1 , ∪ A 2 ∪ + A 3 ∪ …).

*Nota: Los eventos disjuntos no pueden ocurrir al mismo tiempo; Son mutuamente excluyentes con una intersección de cero.

Definición formal de aditividad contable

El axioma de aditividad contable también se puede establecer como (Nandori, 2012):
Si { A i : i ∈ I } es una colección de eventos contables, disjuntos por pares , entonces: Donde ℙ es una medida de probabilidad (o distribución de probabilidad ) para un evento aleatorio experimento y Σ es notación de suma (que significa «sumar»).
&aditividad contable

Una función que tiene aditividad numerable se llama función aditiva numerable .

¿Por qué necesitamos otro axoim?

Para obtener una explicación detallada de por qué es necesario el axioma, vea este excelente video del profesor del MIT John Tsitsiklis. O lea a continuación para obtener una breve descripción general:

L01.9 Aditividad contable

Este axioma es casi idéntico al axioma de probabilidad para eventos separados que puede haber encontrado en la probabilidad elemental: la probabilidad de dos o más eventos separados es la suma de sus probabilidades. Aunque esa regla funciona para la mayoría de los casos, viene con una aparente paradoja.

Como ejemplo, considere un espacio muestral de un cuadrado unitario , compuesto por un número infinito de puntos individuales. Sabemos por probabilidad elemental que la probabilidad del área total es igual a 1 (es decir, el área del cuadrado unitario). Ahora, consideremos la probabilidad de un solo punto como A, B o C: la probabilidad de que ocurra uno de estos elementos es cero, por lo que la unión de todos estos elementos diminutos (A + B + C + …) también es cero. Esto lleva a una paradoja, porque acabamos de demostrar que 0 = 1.

La introducción del axioma de aditividad contable elimina esta paradoja, porque establece que los elementos deben ser una secuencia contable de eventos. El cuadrado de la unidad que se muestra arriba no es contable (es decir, sus elementos no se pueden colocar en una secuencia).

Referencias

Haberman, S. (1996). Estadística Avanzada: Descripción de Poblaciones · Volumen 1. Springer.
Nandori, P. (2012). Recuperado el 5 de octubre de 2020 de: http://math.bme.hu/~nandori/Virtual_lab/stat/prob/Probability.pdf

Tengo una Maestría en Ciencias en Estadística Aplicada y he trabajado en algoritmos de aprendizaje automático para empresas profesionales tanto en el sector de la salud como en el comercio minorista.

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