Actualizado por ultima vez el 1 de octubre de 2021, por Luis Benites.
Los eventos disjuntos por pares no tienen ningún resultado en común. En probabilidad, el término se usa a menudo como sinónimo de mutuamente excluyentes .
A veces se define una diferencia sutil en la teoría de conjuntos. Si la intersección de dos eventos es el conjunto vacío , entonces los eventos a veces se denominan eventos disjuntos por pares. Dos eventos son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que ambos sucedan al mismo tiempo (es decir, su unión) es cero. Según esta definición, los eventos separados por pares (que no tienen resultados en común) también son mutuamente excluyentes. Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto en la teoría de conjuntos, donde es posible crear eventos mutuamente excluyentes que no tienen el conjunto vacío como intersección.
Algunos autores no diferencian en absoluto entre los dos términos, ni siquiera cuando se trata de un conjunto vacío. Por ejemplo, Olive (2014) da la siguiente definición (nótese que Ø es el conjunto vacío):
Definición 1.4. Si A ∩ B = Ø, entonces A y B son eventos mutuamente excluyentes o disjuntos. Los eventos A 1 , A 2 ,…son pares disjuntos o mutuamente excluyentes
si A i ∩ A j = Ø para i ≠ j.
La confusión puede provenir del hecho de que la teoría de conjuntos y la probabilidad, aunque están muy estrechamente conectadas, son campos diferentes. Cada uno tiene su propio conjunto de convenciones de nomenclatura y definiciones. Por ejemplo, el “conjunto universal (U)” en la teoría de conjuntos (que no debe confundirse con la secuencia universal ) significa lo mismo que “espacio muestral (S)” en probabilidad (Olive, 2014). Sin embargo, se definen de manera muy diferente:
“Definición 2.8 El conjunto universal , al menos para una colección dada de cálculos teóricos de conjuntos, es el
conjunto de todos los objetos posibles” ~ Ashlock & Lee (2014).
“El conjunto de todos los resultados posibles se denomina espacio muestral del experimento y generalmente se denota por S”~ Kirk, 2020
Exhaustivo disjunto por pares
Si el conjunto de todos estos eventos que no se superponen cubre todo el espacio muestral, entonces el conjunto de eventos es exhaustivo disjunto por pares .
Como ejemplo (Stewart & Day, 2015), supongamos que dos padres se someten a pruebas genéticas para conocer la probabilidad de que su hijo nazca con la enfermedad de Huntingdon. El hombre tiene la enfermedad y la mujer no. La enfermedad se transmite en un gen A en particular, lo que da cuatro posibilidades para los pares de genes de los padres:
- Mujer : aa o Aa
- Hombre : AA o Aa
El conjunto de todos los resultados posibles para este evento en particular es {el niño tiene una enfermedad; niño no tiene enfermedad}. Como los eventos son disjuntos por pares y cubren todo el espacio muestral (es decir, no hay otros resultados posibles), también son exhaustivos.
Referencias
Ashlock, D. y Lee, C. (2014). Una introducción a las pruebas con la teoría de conjuntos (Conferencias de síntesis sobre matemáticas y estadística) . Saltador.
Kirk, K. Espacio muestral, eventos y probabilidad. Recuperado el 15 de octubre de 2020 de: https://faculty.math.illinois.edu/~kkirkpat/SampleSpace.pdf
Olive, D. (2014). Teoría Estadística e Inferencia. Saltador.
Stewart, J. y Day, T. (2015). Biocálculo: Cálculo, Probabilidad y Estadística para las Ciencias de la Vida . Aprendizaje Cengage.
